Suites numériques, croissance, décroissance.

Suites numériques, croissance, décroissance.
Définition: une suite numérique est une suite de nombres, chaque nombre a un numéro d'ordre.
Un nombre de la suite est un terme, son numéro d'ordre est son rang.
On note le terme de rang n avec la notation des fonctions u(n) ou avec la notation indiciaire Un.
Une suite numérique est définie:
• Soit par une formule explicite en fonction de n .
Exemple: on considère
la suite u définie pour tout entier naturel n par un=3n+2. On a alors uo=3xO+2=2,
ul=3xl +2=5, ulQ=3xl0+2=32 etc ...
• Soit par la donnée de son premier terme et d'une formule de récurrence (liant deux termes consécutifs).
Exemple: on considère
la suite u définie par uo=3 et pour tout entier naturel n, un +l=2
xun+5.
On a ul=2xuo+5=l1, U2=2xul+5=27 etc .... L'inconvénient d'une telle définition est que pour calculer U10, il faut
avoir calculé
U9, mais pour calculer U9, il faut avoir calculé Us etc ....
Suites arithmétiques, croissance ou décroissance linéaire.
Une suite
arithmétique est suite de nombres telle que chaque terme est obtenu en ajoutant au terme précédent
toujours le même nombre, appelé raison de
la suite.
Expression de Un
+l en fonction de Un : si u est une suite arithmétique de premier terme Uo et de raison r, alors, pour
tout n,l Un +l = Un +rl.
La différence entre deux termes consécutifs d'une suite arithmétique est constante.
Expression de
Un en fonction de n :
Si ua est le premier terme de la suite, alors, pour tout n,1 un=uo+nxrl.
Si Ul est le premier terme de la suite, alors, pour tout n2:1,1 un =ul+(n-l)xrl
Sens de variation:
Une suite arithmétique est croissante si sa raison est positive, elle est décroissante si sa raison est négative.
Représentation
graphique: le terme général (en fonction de n) d'une suite arithmétique s'exprime à l'aide d'une
fonction affine,
les points de coordonnées (n ;un) appartiennent à une droite.
Exemple:
On considère la suite définie par ua=2 et, pout tout entier naturel n, un +l=u
n+3. L'expression de unen
fonction de n est donné par
la formule un=2+3xn. Cette suite est croissante. Voici sa représentation graphique:

Suites géométriques, croissance ou décroissance exponentielle.
Une suite
géométrique est suite de nombres telle que chaque terme est obtenu en multipliant toujours le terme
précédent par le même nombre, appelé raison de la suite.
Expression de Un
+l en fonction de Un : si u est une suite géométrique de premier terme Uo et de raison q, alors, pour
tout n,l Un+l = qxunl·
Le quotient entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique est constant.
Expression de
Un en fonction de n :
Si Uo est le premier terme de la suite, alors, pour tout n,1 un=uoqn 1.
Si Ul est le premier terme de la suite, alors, pour tout n21,1 un=ulqn-11.
Sens de variation d'une suite géométrique de premier terme et de raison strictement positifs:
Si O<q<l alors la suite est décroissante.
Si q>l alors la suite est croissante.
Représentation graphique
Exemple: on considère
la suite géométrique de premier terme vo=3 et de raison 1,4. Voici sa représentation
graphique:
35
30
25
20
15
Un
+.
• •
10
5 _.----_.
---~--.
cr cr
:2 3 4 5 6 7 8
Les points de la représentation graphique de la suite v ne sont pas alignés.
Autre exemple de croissance: on considère la suite u définie pour tout entier naturel n par un=n2+2n.
Voici
sa représentation graphique:
Un
.-------
i ' Différence entre deux
in
Un
termes consécutifs
0 0
1 3 3
1 2 8 5
3 15 7
4 24 9
5 35 11
6 48 13
7 63 15
Ces différences sont en progression arithmétique.