Complexes

LES NOMBRES COMPLEXES
Chapitre 02
I) RAPPELS ( cf poly ).
Notation algebrique d’un complexe, partie réelle, partie imaginaire, conjugué, imaginaire pur, ensemble iℝ .
Affixe du point M, affixe du vecteur OM . Module, argument, notation trigonométrique.
z = zz
z1 + z2 ≤ z1 + z 2
inégalité triangulaire.
II) COMPLEXES ET GEOMETRIE PLANE.
Différence : A ( a ) , B ( b ) , A ≠ B
(
alors arg ( b − a ) ≡ e1 , AB
Rapport : A ( a ) , B ( b ) , C ( c ) , D ( d ) , a ≠ b et c ≠ d
)
[ 2π ]
b − a = AB .
et
 d −c 
alors arg 
 ≡ AB, CD
 b−a 
(
) [ 2π ]
et
d − c CD
=
b−a
AB
 d −c 
A, B, C et D points distincts du plan : AB // CD ⇔ arg 
 ≡ 0 [π ]
 b−a 
AB ⊥ CD ⇔
 d −c  π
arg 
[π ]
≡
 b−a  2
Transformations du plan :
f : M ( z ) ֏ M ′ ( z ′ ) avec z ′ = eiθ z (θ ∈ ℝ ) , z ′ = λ z (λ ∈ R ∗ ) , z ′ = z + b (b ∈ ℂ) , z ′ = z .
III) LA FORME EXPONENTIELLE.
soit z = λ eiθ avec λ et θ réels :
si λ > 0 alors z = λ et arg ( z ) ≡ θ [ 2π ]
si λ < 0 alors z = −λ et arg ( z ) ≡ θ + π [ 2π ]
si λ = 0 alors z = 0 et z n’a pas d’argument.
A) LES COMPLEXES DE MODULE 1.
Notation eiθ = cos θ + i sin θ .
z = 1 ⇔ ∃θ ∈ ℝ, z = eiθ .
(eiθ ) n = einθ soit : (cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ
cos θ =
(
1 iθ
e + e-iθ
2
)
et
sin θ =
(
1 iθ
e − e -iθ
2i
(n ∈ ℕ)
)
Formule de Moivre .
Formules d’Euler .
principe de l’arc moitié : module et argument de z = 1 + e iθ .
Linéarisation de cos m θ sin n θ ( cad transformer les produits en sommes, avec du « cos kθ » et du « sin kθ » ).
Expression de cos nθ et sin nθ en fonction de cos p θ et de sin p θ .
B) EXPONENTIELLE COMPLEXE.
Notation e z
Résolution de l’équation d’inconnue z : e z = A , avec A complexe fixé.
C) APPLICATIONS A LA TRIGONOMETRIE.
Formulaire trigonométrique.
Réduction de a cos θ + b sin θ .
ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
V) RESOLUTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES.
A) RACINES CARREES D’UN NOMBRE COMPLEXE.
Racines carrées d’un nombre complexe.
Tout nombre complexe Z non nul possède exactement deux racines carrées complexes opposées.
Rechercher les racines carrées d’un complexe sous forme exponentielle.
sous forme algébrique.
B) RESOLUTION D’EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C.
Equation ( E ) : az 2 + bz + c = 0
avec ( a, b, c ) ∈ C3 , a ≠ 0 , d’inconnue z ∈ C .
∆ = b 2 − 4ac (discriminant) et δ tel que δ 2 = ∆ ( δ est l’une des deux racines carrées de ∆ ).
−b − δ
−b + δ
.
et z2 =
2a
2a
L’expression se factorise alors sous la forme : az 2 + bz + c = a ( z − z1 )( z − z2 ) .
si ∆ ≠ 0 alors ( E ) a 2 solutions distinctes : z1 =
si ∆ = 0 alors ( E ) a une seule solution (double) : z0 =
−b
.
2a
L’expression se factorise alors sous la forme : az 2 + bz + c = a ( z − z0 ) .
2
somme et produit des deux racines : z1 + z 2 = −
b
c
et z1 z2 = .
a
a
C) RACINES nièmes D’UN COMPLEXE .
Racine nième d’un complexe, racines nième de l’unité.
Soit n entier, n ≥ 2 . Tout nombre complexe non nul A possède exactement n racines nièmes qui sont :
 θ + 2 kπ 
i

n 
zk = n ρ .e 
k ∈ 0, n − 1
( avec ρ = A et θ ≡ arg ( A ) [ 2 π ] )
Les images ponctuelles des racines n ièmes de A sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans un cercle
de centre O et de rayon n ρ .
Pour tout entier n ≥ 2 , la somme des n racines n ièmes de A est nulle.
On note j = e
i 2π
3
.
Les 3 racines cubiques de l’unité sont 1, j et j 2 .
La somme vaut donc 1 + j + j 2 = 0 .
Savoir placer sur le cercle trigo 1, j , j 2 , j , − j , − j , − j 2 , j 3 , j 3k , j 3k +1 , j 3k + 2 ..
Objectifs :
Savoir jongler entre les écritures algébriques et exponentielles ( et déterminer module et argument ).
Savoir visualiser graphiquement les complexes et les différentes transformations.
Savoir résoudre des équations algébriques :
équation de degré 2 à coefficients complexes,
racines carrées d’un complexe sous forme exponentielle ou sous forme algébrique,
racines niemes d’un complexe sous forme exponentielle.
Savoir réduire une expression a cos θ + b sin θ sous la forme A cos (θ − ϕ ) (amplitude et déphasage)
Savoir linéariser de cos m θ sin n θ ( transformer en sommes de cos kθ et sin kθ ),
ou à l’inverse exprimer cos nθ et sin nθ en fonction de cos p θ et sin p θ .
ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN