Complexes

ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
Chapitre 02 LES NOMBRES COMPLEXES
I) RAPPELS ( cf poly ).
Notation algebrique d’un complexe, partie réelle, partie imaginaire, conjugué, imaginaire pur, ensemble
i
ℝ
.
Affixe du point M, affixe du vecteur
OM
. Module, argument, notation trigonométrique.
z zz
=
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ + inégalité triangulaire.
II) COMPLEXES ET GEOMETRIE PLANE.
 Différence :
(
)
(
)
, ,
A a B b A B
≠
alors
( )
(
)
[
]
1
arg , 2
b a e AB
π
− ≡ et
b a AB
− = .
 Rapport :
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
A a B b C c D d a b et c d
≠ ≠
alors
( )
[ ]
arg , 2
d c AB CD
b a
π
−
  ≡
−
et
d c CD
b a AB
−=
−
 A, B, C et D points distincts du plan : //AB CD
⇔
[ ]
arg 0
d c
b a
π
−
  ≡
−
AB CD
⊥ ⇔
[ ]
arg 2
d c
b a
π
π
−
  ≡
−
 Transformations du plan :
(
)
(
)
:
f M z M z
′ ′
֏
avec
( )
i
z e z
θ
θ
′= ∈
ℝ
,
( )
z z λ λ
∗
′= ∈
R
,
( )
z z b b
′
= + ∈
ℂ
,
z z
′
=
.
III) LA FORME EXPONENTIELLE.
 soit
i
z e
θ
λ
= avec
λ
et
θ
réels : si
0
λ
>
alors z
λ
=
et
(
)
[
]
arg 2
z
θ π
≡
si
0
λ
<
alors z
λ
= −
et
(
)
[
]
arg 2
z
θ π π
≡ +
si
0
λ
=
alors
0
z
=
et z n’a pas d’argument.
A) LES COMPLEXES DE MODULE 1.
Notation
=cos sin
i
e i
θ
θ θ
+
.
 1 ,
i
z z e
θ
θ
= ⇔ ∃ ∈ =
ℝ
.
( ) soit :(cos sin ) cos sin
i n in n
e e i n i n
θ θ
θ θ θ θ
= + = +
(
)
n∈
ℕ
Formule de Moivre .
( ) ( )
- -
1 1
cos et sin
2 2
i i i i
e e e e
i
θ θ θ θ
θ θ = + = − Formules d’Euler .
 principe de l’arc moitié : module et argument de 1
i
z e
θ
= +
.
 Linéarisation de
cos sin
m n
θ θ
( cad transformer les produits en sommes, avec du «
cos
k
θ
» et du «
sin
k
θ
» ).
 Expression de
cos
n
θ
et
sin
n
θ
en fonction de cos
p
θ
et de
sin
p
θ
.
B) EXPONENTIELLE COMPLEXE.
Notation
z
e
 Résolution de l’équation d’inconnue z :
z
e A
=
, avec A complexe fixé.
C) APPLICATIONS A LA TRIGONOMETRIE.
 Formulaire trigonométrique.
 Réduction de
cos sin
a b
θ θ
+ .

ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
V) RESOLUTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES.
A) RACINES CARREES D’UN NOMBRE COMPLEXE.
Racines carrées d’un nombre complexe.
 Tout nombre complexe Z non nul possède exactement deux racines carrées complexes opposées.
 Rechercher les racines carrées d’un complexe sous forme exponentielle.
sous forme algébrique.
B) RESOLUTION D’EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C.
Equation
(
)
E
:
2
0
az bz c
+ + =
avec
(
)
3
, ,abc∈
C
,
0
a
≠
, d’inconnue
z
∈
C
.
2
4
b ac
∆ = −
(discriminant) et δ tel que
2
δ
= ∆
( δ est l’une des deux racines carrées de ∆ ).
 si
0
∆ ≠
alors
(
)
E
a 2 solutions distinctes :
1 2
2 2
b b
z et z
a a
δ δ
− − − +
= = .
L’expression se factorise alors sous la forme :
(
)
(
)
2
1 2
az bz c a z z z z
+ + = − − .
si
0
∆ =
alors
(
)
E
a une seule solution (double) :
0
2
b
z
a
−
= .
L’expression se factorise alors sous la forme :
( )
2
20
az bz c a z z
+ + = − .
 somme et produit des deux racines :
1 2
b
z z
a
+ = −
et
1 2
c
z z
a
=
.
C) RACINES n
ièmes
D’UN COMPLEXE .
Racine n
ième
d’un complexe, racines n
ième
de l’unité.
 Soit n entier,
2
n
≥
. Tout nombre complexe non nul A possède exactement n racines n
ièmes
qui sont :
2
. 0, 1
k
in
n
k
z e k n
θ π
ρ
+
= ∈ −
( avec
(
)
[
]
arg 2
A et A
ρ θ π
= ≡ )
 Les images ponctuelles des racines n
ièmes
de A sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans un cercle
de centre O et de rayon
n
ρ
.
 Pour tout entier n ≥ 2 , la somme des n racines n
ièmes
de A est nulle.
 On note
2
3
i
j e
π
= .
Les 3 racines cubiques de l’unité sont 1,
j
et
2
j
.
La somme vaut donc
2
1 0
j j
+ + =
.
 Savoir placer sur le cercle trigo
2 2 3 3 3 1 3 2
1, , , , , , , , , ,
k k k
j j j j j j j j j j
+ +
− − − ..
Objectifs :
Savoir jongler entre les écritures algébriques et exponentielles ( et déterminer module et argument ).
Savoir visualiser graphiquement les complexes et les différentes transformations.
Savoir résoudre des équations algébriques :
équation de degré 2 à coefficients complexes,
racines carrées d’un complexe sous forme exponentielle ou sous forme algébrique,
racines niemes d’un complexe sous forme exponentielle.
Savoir réduire une expression
cos sin
a b
θ θ
+ sous la forme
(
)
cosA
θ ϕ
−
(amplitude et déphasage)
Savoir linéariser de
cos sin
m n
θ θ
( transformer en sommes de
cos
k
θ
et
sin
k
θ
),
ou à l’inverse exprimer
cos
n
θ
et
sin
n
θ
en fonction de cos
p
θ
et
sin
p
θ
.