PCSI - colle de mathématiques n 1 a) Complexes et trigonométrie

PCSI - colle de mathématiques n◦1
a) Complexes et trigonométrie
Partie réelle, partie imaginaire, conjugaison. Linéarité de ces fonctions.
Affixe d’un point, d’un vecteur ; image d’un nombre complexe. Interprétation géométrique.Module d’un complexe, d’un produit,
d’un quotient. Inégalité triangulaire. Interprétation en termes de distance.
Calcul des racines carrées d’un complexe, équation du 2nd degré.
Le groupe Udes complexes de module 1. Définition succinte d’un groupe.
Définition et propriétés de eiθ . Formule de Moivre. Formules d’Euler.
Formules trigonométriques :
cos(a+b),sin(a+b),tan(a+b),cos(2x),sin(2x),tan(2x)Linéarisation et factorisation. Formules exprimant cos x,sin xet tan x
en fonction de tan x
2.
Réduction des expressions acos x+bsin x,eia +eib,eia −eib .
Mesures d’un angle. Notation avec modulo. eiθ =eiθ0⇔θ≡θ0[2π].
Argument d’un nombre complexe ; propriétés. Forme trigonométrique d’un complexe non nul.
Racines nème de l’unité. Racines nèmes d’un complexe quelconque.
Équations du second degré : calcul de racines carrées d’un complexe ; relations coefficients-racines.
Exponentielle sur C.
Applications en géométrie plane :
zétant donné, construction d’un point d’affixe az +b,1
z,¯z.
Module et argument de z−a
z−b.
b) Fonctions usuelles
Rappels de TS : on utilise des arguments graphiques pour présenter une notion "naïve" de continuité et justifier la dérivabilité
d’une composée, d’une réciproque.
Tangentes : limite des sécantes (M0M)lorsque Mtend vers M0.
(On admet qu’il suffit que le coefficient directeur ait une limite, finie ou infinie).
Branches infinies : une direction asymptotiques est la limite des sécantes (OM)si Mtend vers l’infini.
Asymptotes : la limite des distances de MàDest nulle à l’infini ; Dest parallèle à la direction asymptotique.
Branches paraboliques : la limite des distances de Mà la direction asymptotique est +∞(il n’y a donc pas d’asymptote).
Points d’inflexions : sur des exemples simples.
Fonctions puissances, exponentielles, logarithmes. Représentation d’une fonction en échelle log,log ou semi-logarithmique.
Cosinus, sinus, tangente, arc sinus, arc tangente. Variations, parité, périodicité, dérivation. Calcul de l’argument d’un complexe à
l’aide des fonctions trigonométriques réciproques.
(NB : Arc cosinus et les fonctions hyperboliques ne sont pas au programme de cette colle)
Équations différentielles.
1) [Rappels TS] Primitives d’une fonction continue sur un intervalle. Deux primitives diffèrent d’une constante. Notation
Rf(x)dx. Existence et unicité d’une primitive prenant la valeur y0en x0.
Primitives des fonctions usuelles (On reconnaît la forme f0(u(x))u0(x)mais les techniques de changement de variables et
d’intégration par parties ne sont pas les objectifs de cette colle).
2) Généralités sur les EDO linéaires : Principe de superposition. La solution générale est la somme d’une solution particulière et
de la solution générale de l’équation sans second membre. Structure de l’ensemble des solutions de l’équation homogène (stabilité
par combinaisons linéaires).
3) Linéaires, premier ordre. Équation y0+a(x)y=b(x).Aétant une primitive de a, les solutions sont données par
x7→ exp(−A(x)) Rexp(A(x))b(x)dx. Variation de la constante. Cas du problème de Cauchy.
Questions de cours 1) |z+z0|≤|z|+|z0|pour z, z0∈C.
2) |z−z0| ≥ ||z|−|z0||.
3) Racines nèmes d’un complexe.
4) Résolution de l’équation du second degré.
5) La réciproque d’une fonction impaire est impaire.
6) Définition et étude de Arcsin
7) Définition et étude de Arctan
8) Résolution d’une équation linéaire du premier ordre.
Prochains programmes EDO du second ordre, courbes paramétrées.