Le corps des complexes

Le corps des complexes
Nous souhaitons construire un ensemble Cqui contient les réels et tel qu’on peut
ajouter, multiplier et inverser ses éléments (c’est-à-dire un corps). On souhaite
de plus que cet ensemble contienne un élément ide carré −1.
Pour cela, nous considérons l’ensemble C=R2et allons définir une addition et
une multiplicatiom sur ses éléments.
y(x, y)
x
L’élément (x, y)∈R2sera noté z=x+iy.
La partie réelle de zest par définition xet est notée Re(z), sa partie imaginaire
est yet est notée Im(z). De sorte qu’on a z= Re(z) + iIm(z).
Nous considérerons Rcomme un sous-ensemble de Cvia l’identification de x∈R
avec x+i.0. On a donc
R={x+i−0; x∈R}={z∈Ctel que Im(z) = 0} ⊂ C
Les complexes de la forme 0 + iy (avec y∈R) sont appelés des imaginaires purs.
L’addition de deux complexes
Soient z, z0∈C,z=x+iy,z0=x0+iy0. On note
z+z0= (x+x0) + i(y+y0).
Si zet z0sont réels (Im(z) = Im(z0) = 0) alors l’addition est l’addition usuelle.
La multipliciation de deux complexes
Soient z, z0∈C,z=x+iy et z0=x0+iy0. On note
zz0= (xx0−yy0) + i(xy0+yx0)
(obtenu en développant formellement et en utilisant i2=−1).
Si zet z0sont réels alors on retrouve la multiplication habituelle.
D’autre part, pour tout z∈C∗=C\ {0}, il existe un inverse, à savoir
1
z=x x2+y2−iy x2+y2.
Le conjugué d’un complexe
Soit z∈C,z=x+iy. Nous notons
¯z=x−iy
c’est le conjugué de z.
1

2
On a alors R={z∈Ctel que z= ¯z}.
proposition 1. ∀z, z0∈Con a z+z0= ¯z+ ¯z0et zz0= ¯z¯z0
Preuve : Exercice
Module d’un complexe
Soit z∈C,z=x+iy. On note
|z|=px2+y2
c’est le module de z.
En particulier, |z|2=z¯z.
Si x∈R, alors on retrouve la valeure absolue usuelle d’un nombre réel.
En particulier ||z|| =|z|.
proposition 2. Pour tout z, z0∈Con a |zz0|=|z||z0|.
Preuve : Exercice.
Soit z, z0∈C. La distance entre les deux points de R2correspondant est |z−z0|.
On a les relations
-∀z, z0∈C,|z−z0| ≥ 0
-∀z, z0∈C,|z−z0|= 0 ⇔z=z0
-∀z, z0, z00 ∈C|z−z00|≤|z−z0|+|z0−z00|(inégalité triangulaire)
Argument d’un nombre complexe
Soit z∈C∗. On a 
z
|z|
=
1
|z|
=1
|z||z|= 1
donc z
|z|est un complexe de module 1: il se situe sur le cercle unité.
1
z
|z|
θ
On peut donc l’écrire sous la forme z= cos θ+isin θavec θ∈Rdéfinit de manière
unique modulo 2π(c’est-à-dire à l’addition près d’un nombre de la forme 2kπ avec
k∈Z).
Le “nombre” (définit seulement modulo 2π)θest appelé argument de zet noté
arg(z).
On peut donc écrire z∈C∗sous la forme
z=|z|(cos arg(z) + isin arg(z)).

3
Définition 0.1. Pour z∈C∗, les nombres |z|et θconstituent les coordonnées
polaires du complexe z.
proposition 3. Soient z, z0∈C∗. On a
arg(zz0) = arg(z) + arg(z0) mod 2π
Preuve : Notons z=ρ(cos θ+isin θ)et z0=ρ0(cos θ+isin θ). On a alors
zz0=ρρ0(cos θ+isin θ)(cos θ0+isin θ0)
=ρρ0[(cos θcos θ0−sin θsin θ0) + i(cos θsin θ0+ sin θcos θ0)]
=ρρ0[cos(θ+θ0) + isin(θ+θ0)]
On a donc |zz0|=ρρ0=|z||z0|et arg(zz0) = θ+θ0mod 2π= arg(z) + arg(z0)
mod 2π.
Pour tout θ∈Ron notera eiθ le complexe de module 1ayant pour argument θ
(modulo 2π), c’est-à-dire
eiθ = cos θ+isin θ
On a donc z=|z|eiarg(z).
Cette notation est en accord avec la proposition précédente dans la mesure où
ei(θ+θ0)=eiθeiθ0(de même que pour les réels on a ex+x0=exex0).
proposition 4 (Formule de Moivre).Pour tout θ∈Ret tout n∈Non a
(cos θ+isin θ)n= cos(nθ) + isin(nθ).
Preuve : Exercice
Racines d’un nombre complexe
Soit zun nombre complexe et n∈N. On appele racine n-ième de zun nombre
complexe z0tel que z0n=z. En particulier un nombre complexe a en général
plusieurs racines n-ième. Par exemple les racine 2-ième de 1sont 1et −1. On
prendra garde à ne pas confondre les racines n-ièmes d’un nombre complexe avec
la racine n-ième d’un nombre réel positif.
On réservera les notation n
√xet x1
nau cas où xest un nombre réel positif. Cela
désignera alors le nombre réel positif x0tel que x0n=x.
proposition 5. Soient z∈C∗et n∈N\ {0}. Il existe nracines n-ièmes
z1, . . . , znde zdistinctes deux à deux. De plus |zj|=n
p|z|et narg zj= arg z
mod 2π.
Preuve : Notons z=ρeiθ. Il suffit de prendre zj=n
√ρei(θ
n+j n2π)avec j∈
{0, . . . , n −1}.
Exercice 0.2. Retrouver les formules trigonométriques usuelles grace aux nombres
complexes : cos(x+y) = ...,sin(x−y) = ....

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Racines n-ièmes de l’unités
Soit n∈N\ {0}. Nous nous interessons à l’ensemble
Un={z∈C∗tel que zn= 1}.
Un élément de cet ensemble est appelé une racine n-ème de l’unité. D’après la
proposition ci-dessus, c’est un ensemble à n-éléments.
1
proposition 6. Pour tout z, z0∈Unon a zz0∈Un,1/z ∈Un.
De plus, tout élément de Unest de la forme ei2jπ
navec j∈ {0, . . . , n −1}.
Résolution des équations du second degré
Soient a, b, c ∈Cavec a6= 0. Considérons l’équation du second degré
az2+bz +c= 0
On se demande si cette équation a des solutions en nombres complexes.
Comme a6= 0, cette équation est équivalente à
z2+b
az+c a= 0
et donc à
z+b
2a2
−b2
4a2+c a= 0
c’est-à-dire
z+b
2a2
=b2
4a2−c a=b2−4ac 4a2
Notons ∆ = b2−4ac.
Si ∆ = 0 (i.e. b2= 4ca) alors cette équation équivaut à z+b
2a2= 0, c’est-à-dire
z+b
2a= 0 et donc z=−b 2a.
Supposons que ∆6= 0. On sait que tout nombre complexe non nul possède deux
racines carrées distinctes. Notons ∆1et ∆2ces racines carrées. En particulier, on
voit que ∆1=−∆2.
On a donc
z+b
2a=∆1 2aou z+b 2a=∆2 2a
et donc finalement

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z=−b+ ∆1
2aou z=−b+ ∆2 2a.
Dans le cas où ∆est un réel positif, on retrouve bien les équations habituelles.
En pratique, il est parfois nécessaire d’extraire explicitement des racines carrées
de nombres complexes (celles de ∆par exemple).
Soit zun nombre complexe. Si on peut écrire facilement zsous la forme ρeiθ alors
les racines carrées sont données par √ρeiθ/2et √ρeiθ/2+iπ.
Exercice 0.3. Calculer les racines carrées de 3+3i√3.
Dans le cas général, on écrit z=a+ib et on cherche x, y ∈Rtels que (x+iy)2=
a+ib.
En développant et identifiant parties réelles et parties imaginaires, on montre que
cette équation équivaut au système
x2−y2=aet xy =b
D’autre part, en identifiant les modules de chaques côtés on trouve
x2+y2=√a2+b2
Il est alors aisé de trouver x2(i.e. x2=a+√a2+b2
2) et donc x(deux possibilitées)
puis yen utilisant xy =b(si b6= 0).