énoncé

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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
Feuille d’exercices no2
Exercice 1 : questions diverses
1. Soit (X, T) un espace topologique tel que, pour toute fonction f:X→R, o`u Rest muni de
sa topologie usuelle, fest continue. D´eterminer T.
2. Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique X. D´eterminez si les affirmations suivantes
sont vraies ou fausses en g´en´eral. Lorsqu’elles d´ecrivent une ´egalit´e fausse, indiquez si au moins
l’une des inclusions est vraie.
a) ˚
˚
A∪B=˚ A∪˚ Bb) A∪B=A∪Bc) ∂(A∪B) = ∂A ∪∂B
3. Soient Xet Ydeux espaces topologiques. Montrer qu’une fonction f:X→Yest continue
si et seulement si, pour tout ensemble A⊂X,f(A)⊂f(A).
4. Trouver une topologie sur Nqui n’est pas `a base d´enombrable d’ouverts.
Exercice 2 : topologie de la limite sup´erieure sur R.
On munit Rde la topologie Tlim sup engendr´ee par les intervalles de la forme ]−∞, a] et ]b, +∞[.
1. Montrer que les intervalles ]a, b] (avec a < b) forment une base d’ouverts de cette topologie.
2. Cette topologie est-elle moins fine que la topologie usuelle ? Plus fine ?
3. D´eterminer l’adh´erence de ]a, b].
4. Montrer que Qest dense dans Rpour cette topologie.
5. Montrer que cette topologie n’est pas m´etrisable.
[Indication : Montrer qu’il n’existe pas de base d´enombrable d’ouverts et utiliser 4.]
Exercice 3
Soit Xun ensemble ind´enombrable. Fixons x0∈X.
Soit Tl’ensemble des parties Ude Xqui v´erifient l’une des deux propri´et´es suivantes :
(1) x0/∈Uou (2) X−Uest d´enombrable
1. Montrer que Test une topologie.
2. Montrer que Test s´epar´ee.
3. D´ecrire l’ensemble des suites convergentes pour T.
4. Trouver un espace topologique Yet une fonction non-continue f:X→Yv´erifiant la
propri´et´e suivante :
Si zn→z∞est une suite convergente d’´el´ements de X, alors f(zn)→f(z∞) dans Y.
Exercice 4 : topologie des compl´ementaires de parties finies
Soit Xun ensemble. On note C0l’ensemble des parties de Xde compl´ementaire fini : C∈ C0
si et seulement si X−Cest fini. Soit Cla r´eunion de C0et de l’ensemble vide.
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1. Montrer que Cest une topologie sur X. Cette topologie est-elle s´epar´ee ?
2. Soit (xn)n∈Nune suite d’´el´ements de Xtelle que, pour tout y∈X,{ntq xn=y}est fini.
Montrer que, pour tout z∈X,xn→z.
3. Soit Yun espace topologique s´epar´e. D´ecrire l’ensemble des fonctions continues f:X→Y.
Exercice 5 : ensembles d´eriv´es successifs.
Soit Aune partie d’un espace topologique X. Un point d’accumulation de Aest un point x∈A
qui est dans l’adh´erence de A− {x}. L’ensemble des points d’accumulation de Aest appel´e
ensemble d´eriv´e de Aet not´e A0. L’ensemble d´eriv´e de l’ensemble d´eriv´e de Aest not´e A”. Etc.
Combien la suite A, A0A00, A000 . . . peut-elle contenir de termes deux `a deux distincts ?
Exercice 6 : th´eor`eme de Cantor-Bendixson
Soit Aune partie d’un espace topologique X. On dit qu’un point x∈Xest un point de
condensation de Asi, pour tout voisinage Vde x, l’intersection V∩Aest non-d´enombrable.
On note A∗l’ensemble des points de condensation de A.
1. Si Xadmet une base d´enombrable d’ouverts, montrer que A−(A∗∩A) est d´enombrable.
En d´eduire que A∗=A∗∗.
2. En d´eduire le th´eor`eme de Cantor-Bendixson : tout espace topologique `a base d´enombrable
d’ouverts s’´ecrit comme la r´eunion disjointe de deux sous-ensembles X1et X2, o`u X1est ferm´e
sans point isol´e et X2est d´enombrable.
Exercice 7 : sur la s´eparation
1. On dit qu’un espace topologique Xest :
(0) de Kolmogorov (ou T0) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe un voisinage Vde l’un
des deux points qui ne contient pas l’autre point.
(1) accessible (ou T1) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe un voisinage Vde xtel que
y /∈V.
(2) s´epar´e (ou T2) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe Vxun voisinage de xet Vyun
voisinage de ytels que Vx∩Vy=∅.
Les implications (2) ⇒(1) ⇒(0) sont vraies. Montrer que les r´eciproques sont fausses.
2. [Une propri´et´e universelle]
On va montrer le th´eor`eme suivant : soit Xun espace topologique. Il existe Yun espace
s´epar´e et π:X→Ycontinue telle que, pour tout espace topologique s´epar´e et toute fonction
f:X→Zcontinue, il existe une unique g:Y→Zcontinue v´erifiant f=g◦π.
a) Pour tous x, y ∈X, on note xRysi, pour toute fonction f:X→Zcontinue `a valeurs dans
un espace topologique s´epar´e Z,f(x) = f(y). Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
b) On pose Y=X/R, muni de la topologie quotient. Montrer que Yest s´epar´e.
c) On note π:X→Yla projection canonique. D´emontrer le th´eor`eme.
d) Montrer que si (Y, π) et (Y0, π0) sont deux espaces s´epar´es v´erifiant la propri´et´e du th´eor`eme,
alors ils sont isomorphes comme espaces topologiques.
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