1. Montrer que Cest une topologie sur X. Cette topologie est-elle s´epar´ee ?
2. Soit (xn)n∈Nune suite d’´el´ements de Xtelle que, pour tout y∈X,{ntq xn=y}est fini.
Montrer que, pour tout z∈X,xn→z.
3. Soit Yun espace topologique s´epar´e. D´ecrire l’ensemble des fonctions continues f:X→Y.
Exercice 5 : ensembles d´eriv´es successifs.
Soit Aune partie d’un espace topologique X. Un point d’accumulation de Aest un point x∈A
qui est dans l’adh´erence de A− {x}. L’ensemble des points d’accumulation de Aest appel´e
ensemble d´eriv´e de Aet not´e A0. L’ensemble d´eriv´e de l’ensemble d´eriv´e de Aest not´e A”. Etc.
Combien la suite A, A0A00, A000 . . . peut-elle contenir de termes deux `a deux distincts ?
Exercice 6 : th´eor`eme de Cantor-Bendixson
Soit Aune partie d’un espace topologique X. On dit qu’un point x∈Xest un point de
condensation de Asi, pour tout voisinage Vde x, l’intersection V∩Aest non-d´enombrable.
On note A∗l’ensemble des points de condensation de A.
1. Si Xadmet une base d´enombrable d’ouverts, montrer que A−(A∗∩A) est d´enombrable.
En d´eduire que A∗=A∗∗.
2. En d´eduire le th´eor`eme de Cantor-Bendixson : tout espace topologique `a base d´enombrable
d’ouverts s’´ecrit comme la r´eunion disjointe de deux sous-ensembles X1et X2, o`u X1est ferm´e
sans point isol´e et X2est d´enombrable.
Exercice 7 : sur la s´eparation
1. On dit qu’un espace topologique Xest :
(0) de Kolmogorov (ou T0) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe un voisinage Vde l’un
des deux points qui ne contient pas l’autre point.
(1) accessible (ou T1) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe un voisinage Vde xtel que
y /∈V.
(2) s´epar´e (ou T2) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe Vxun voisinage de xet Vyun
voisinage de ytels que Vx∩Vy=∅.
Les implications (2) ⇒(1) ⇒(0) sont vraies. Montrer que les r´eciproques sont fausses.
2. [Une propri´et´e universelle]
On va montrer le th´eor`eme suivant : soit Xun espace topologique. Il existe Yun espace
s´epar´e et π:X→Ycontinue telle que, pour tout espace topologique s´epar´e et toute fonction
f:X→Zcontinue, il existe une unique g:Y→Zcontinue v´erifiant f=g◦π.
a) Pour tous x, y ∈X, on note xRysi, pour toute fonction f:X→Zcontinue `a valeurs dans
un espace topologique s´epar´e Z,f(x) = f(y). Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
b) On pose Y=X/R, muni de la topologie quotient. Montrer que Yest s´epar´e.
c) On note π:X→Yla projection canonique. D´emontrer le th´eor`eme.
d) Montrer que si (Y, π) et (Y0, π0) sont deux espaces s´epar´es v´erifiant la propri´et´e du th´eor`eme,
alors ils sont isomorphes comme espaces topologiques.
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