espace x -"on peut supposer" -résoudre -ap -"la norme" -au

Universit´e Bordeaux1 S6, G´eom´etrie et Topologie
Devoir Surveill´e, dur´ee 1h30
Exercice.
On rappelle que la suspension d’un espace topologique Xest l’espace quotient
(X×[−1,1])/∼o`u ∀x, x0∈X, (x, −1) ∼(x0,−1)
(x, 1) ∼(x0,1)
Montrer que la suspension du cercle S1est hom´eomorphe `a la sph`ere S2.
(On pourra factoriser une application convenable de S1×[−1,1] sur S2.)
Probl`eme.
On note `2(R) l’espace de Hilbert des suites r´eelles (xn) de carr´e sommable, muni du produit
scalaire hx, yi=P∞
n=0 xnynet de sa distance associ´ee d. On se propose de montrer le r´esultat
suivant, version faible du th´eor`eme de plongement de Withney :
Th´eor`eme 1. Soit Mune vari´et´e s´epar´ee `a base d´enombrable. Alors il existe un plongement
φ:M→`2(R). En particulier Mest m´etrisable.
On rappelle qu’on plongement est un hom´eomorphisme M→φ(M) o`u φ(M) est muni de la
topologie induite. Un espace Xest m´etrisable si sa topologie provient d’une distance sur X.
Pour simplifier on suppose Mde dimension fixe m∈N∗. Pour d´emontrer le th´eor`eme, ´etablir
les ´etapes suivantes :
(1) Tout point d’une vari´et´e admet une base de voisinages compacts et m´etrisables.
(Rappel : une collection V= (Vi)de voisinages de xest une base de voisinages en xsi pour
tout ouvert U3x, il existe Vi∈ V,x∈Vi⊂U)
(2) Soit (Un)n∈Nune base d’ouverts de M. Alors B={Un|Unest m´etrisable}est encore une
base d’ouverts.
Quitte `a renum´eroter, on se ram`ene `a B={Un}. Soit dnune distance sur Uncompatible
avec la topologie.
(3) La fonction φn:M→[0,1], d´efinie par x7→ min{1, dn(x, ∂Un)}si x∈Un,φn(x) = 0 si
x /∈Un, est continue sur Met non nulle sur Unexactement.
(Rappel : si δest une distance sur Xet A⊂Xnon vide, δ(x, A) = inf{δ(x, y)|y∈A}est
continue en la variable x∈X; on convient que δ(x, ∅) = +∞);∂A =A−
◦
A).
(4) La fonction φ:M→`2(R), x7→ φn(x)
n+1 n∈Nest bien d´efinie et continue.
DS, 13 mars 2014 11h-12h30 2013-2014

Universit´e Bordeaux1 S6, G´eom´etrie et Topologie
(5) φest injective (utiliser le fait que Mest s´epar´ee).
(6) φ:M→φ(M) est ferm´ee.
(On pourra ´etablir que si F⊂Mest ferm´ee, le compl´ementaire de φ(F)dans φ(M)est
ouvert, en montrant que d(φ(x), φ(F)) >0si x /∈F, o`u dest la distance de `2(R)).
(7) Conclure.
(8) Question subsidiaire : `a quelle situation correspond ∂Un=∅? Peut-on se ramener `a ∂Un6=
∅,∀n?
DS, 13 mars 2014 11h-12h30 2013-2014