Université de Rennes 1 TOPOLOGIE GÉNÉRALE
Contrôle continu (1 heure)
Nom : Prénom :
Question de cours : (2 points) Démontrer le théorème suivant du cours.
Théorème : Toute famille (Ai)iIde parties connexes d’un espace topologique (X, T)ayant
deux à deux une intersection non vide a une réunion connexe.
Exercice 1 : (4 points) Soit (X, τX)un espace topologique et (Y, τY)un espace topologique
séparé. Soit f:XYcontinue. Montrer que l’ensemble G:= (x, y)X×Y;y=f(x)est
un fermé de X×Y(muni de la topologie produit).
Exercice 2 : (4 points) Soit (E, τ)un espace topologique. On considère une suite (xn)nde
points de E. On suppose qu’il existe xEtel que de toute sous-suite de (xn)non peut
extraire une sous-suite qui converge vers x. Montrer que (xn)nconverge vers x.
Exercice 3 : (4 points) Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique (E, τ ). On suppose
que Best connexe. Montrer que :
BA6=et BAc6=∅ ⇒ BA 6=.
Exercice 4 : (6 points) Soit N. On munit N+1 de la norme Euclidienne ||.||2. On introduit
la relation d’équivalence sur N+1 \ {0}définie par :
ab⇒ ∃λ;b=λ a .
On note N( ) = N+1 \ {0}/. On munit N( ) de la topologie quotient. Enfin on munit
l’espace des matrices carrés de taille N+ 1,MN+1( ), de sa topologie induite par une norme.
1) Montrer que l’application :
φ:N( ) MN+1( )
x7→ ||x||2
2xtx
est bien définie (1 pt), continue (1 pt) et injective (1 pt).
2) On note Pl’image de φ. On considère l’application :
ψ:N( ) → P
x7→ φ(x),
où l’ensemble N( ) est muni de la topologie quotient tandis que Pest muni de la topologie
induite par celle de MN+1( ). Montrer que ψest un homéomorphisme.
1 / 4 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !