Université de Rennes 1 TOPOLOGIE GÉNÉRALE Contrôle continu

Université de Rennes 1 TOPOLOGIE GÉNÉRALE
Contrôle continu (1 heure)
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Question de cours : (2 points) Démontrer le théorème suivant du cours.
Théorème : Toute famille (Ai)i∈Ide parties connexes d’un espace topologique (X, T)ayant
deux à deux une intersection non vide a une réunion connexe.
Exercice 1 : (4 points) Soit (X, τX)un espace topologique et (Y, τY)un espace topologique
séparé. Soit f:X→Ycontinue. Montrer que l’ensemble G:= (x, y)∈X×Y;y=f(x)est
un fermé de X×Y(muni de la topologie produit).

Exercice 2 : (4 points) Soit (E, τ)un espace topologique. On considère une suite (xn)n∈de
points de E. On suppose qu’il existe x∈Etel que de toute sous-suite de (xn)n∈on peut
extraire une sous-suite qui converge vers x. Montrer que (xn)n∈converge vers x.
Exercice 3 : (4 points) Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique (E, τ ). On suppose
que Best connexe. Montrer que :
B∩A6=∅et B∩Ac6=∅ ⇒ B∩∂A 6=∅.

Exercice 4 : (6 points) Soit N∈. On munit N+1 de la norme Euclidienne ||.||2. On introduit
la relation d’équivalence ∼sur N+1 \ {0}définie par :
a∼b⇐⇒ ∃λ∈∗;b=λ a .
On note N( ) = N+1 \ {0}/∼. On munit N( ) de la topologie quotient. Enfin on munit
l’espace des matrices carrés de taille N+ 1,MN+1( ), de sa topologie induite par une norme.
1) Montrer que l’application :
φ:N( ) →MN+1( )
x7→ ||x||−2
2xtx
est bien définie (1 pt), continue (1 pt) et injective (1 pt).

2) On note Pl’image de φ. On considère l’application :
ψ:N( ) → P
x7→ φ(x),
où l’ensemble N( ) est muni de la topologie quotient tandis que Pest muni de la topologie
induite par celle de MN+1( ). Montrer que ψest un homéomorphisme.