Université de Rennes 1 TOPOLOGIE GÉNÉRALE Contrôle continu

Université de Rennes 1
TOPOLOGIE GÉNÉRALE
Contrôle continu (1 heure)
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Question de cours : (2 points) Démontrer le théorème suivant du cours.
Théorème : Toute famille (Ai )i∈I de parties connexes d’un espace topologique (X, T ) ayant
deux à deux une intersection non vide a une réunion connexe.
Exercice 1 : (4 points) Soit (X, τX ) un espace topologique et (Y, τY ) un espace topologique
séparé. Soit f : X → Y continue. Montrer que l’ensemble G := (x, y) ∈ X × Y ; y = f (x) est
un fermé de X × Y (muni de la topologie produit).
Exercice 2 : (4 points) Soit (E, τ ) un espace topologique. On considère une suite (xn )n∈N de
points de E. On suppose qu’il existe x ∈ E tel que de toute sous-suite de (xn )n∈N on peut
extraire une sous-suite qui converge vers x. Montrer que (xn )n∈N converge vers x.
Exercice 3 : (4 points) Soient A et B deux parties d’un espace topologique (E, τ ). On suppose
que B est connexe. Montrer que :
B ∩ A 6= ∅ et B ∩ Ac 6= ∅ ⇒ B ∩ ∂A 6= ∅.
Exercice 4 : (6 points) Soit N ∈ N. On munit RN +1 de la norme Euclidienne ||.||2 . On introduit
la relation d’équivalence ∼ sur RN +1 \ {0} définie par :
a ∼ b ⇐⇒ ∃λ ∈ R∗ ; b = λ a .
On note PN (R) = RN +1 \ {0}/ ∼. On munit PN (R) de la topologie quotient. Enfin on munit
l’espace des matrices carrés de taille N + 1, MN +1 (R), de sa topologie induite par une norme.
1) Montrer que l’application :
φ :
PN (R)
x
→ MN +1 (R)
t
7→ ||x||−2
2 x x
est bien définie (1 pt), continue (1 pt) et injective (1 pt).
2) On note P l’image de φ. On considère l’application :
ψ :
PN (R)
x
→
P
7
→
φ(x) ,
où l’ensemble PN (R) est muni de la topologie quotient tandis que P est muni de la topologie
induite par celle de MN +1 (R). Montrer que ψ est un homéomorphisme.