M1 – Analyse fonctionnelle feuille d`exercices n 1 1. Un ensemble B

M1 – Analyse fonctionnelle
feuille d’exercices n◦1
1. Un ensemble Bde parties ouvertes d’un espace topologique Xest dite base de la topologie de Xsi
tout ouvert de Xest r´eunion d’´el´ements de B.
Soit Xun espace topologique, montrer qu’un ensemble Bde parties ouvertes est une base de la topologie
de Xsi, et seulement si, pour tout x∈X, l’ensemble Sx={O ∈ B;x∈ O} est un syst`eme fondamental
de voisinage de x.
2. Soient Xet Ydeux espaces topologiques et f:X→Yune application, montrer l’´equivalence des
propri´et´es suivantes.
a) fest continue.
b) Pour tout A∈ P(Y), f−1(A◦)⊂(f−1(A))◦.
c) Pour tout A∈ P(Y), f−1(A)⊂f−1(A).
3. Soient Xun espace topologique et Yune partie de X. Montrer que la topologie induite Tisur Yest
la moins fine des topologies sur Y, rendant l’injection canonique I:x→x, continue de Ydans X.
4. Soit Xun espace topologique. D´emontrer le r´esultat suivant :
Pour qu’un point a∈Xsoit adh´erent `a une partie Ade X, il suffit qu’il existe une suite d’´el´ements de
Aqui converge vers a. Si Xest m´etrisable, ou plus g´en´eralement si tout point de Xadmet un syst`eme
fondamental d´enombrable de voisinages, cette condition est ´egalement n´ecessaire.
(En particulier pour qu’une partie d’un espace topologique m´etrisable soit ferm´ee, il faut et il suffit
qu’elle contienne toutes les limites de ses suites convergentes dans X.)
5. Soit (Xi)i∈Iune famille d’espaces topologiques. Soient, pour tout i,Aiune partie de Xiet A=Qi∈IAi.
Montrer que l’adh´erence Ade Aest ´egale au produit des adh´erences Qi∈IAi.
6. On appelle espace normal un espace topologique Xs´epar´e, ayant la propri´et´e suivante : si Aet Bsont
deux parties ferm´es disjointes, elles ont des voisinages disjoints. D´emontrer
a) un espace topologique m´etrisable est normal,
b) un espace compact est normal.
7. Soit (Xi)i∈Iune famille d’espaces topologiques telle que Iest non d´enombrable et tous les Xiont
au moins deux points. Soient X=Qi∈IXi,a∈Xet V0,...,Vn, . . . une suite de voisinages de a.
D´emontrer que ∩n≥0Vncontient un infinit´e d’´el´ements. En d´eduire que Xest non m´etrisable.
8. D´emontrer que tout espace compact est r´egulier : tout point admet un syst`eme fondamental de voisi-
nages compacts.
9. Soit Xun espace m´etrisable. D´emontrer qu’un point aest adh´erent `a une suite (xn) si, et seulement
si, (xn) poss`ede une sous-suite convergente vers a.
10. Soit Xun espace compact. D´emontrer que pour qu’une suite d’´el´ements de Xsoit convergente vers a,
il faut et il suffit qu’elle admette acomme seul point adh´erent.
11. D´emontrer que le compactifi´e d’Alexandroff ˜ Rnde l’espace localement compact Rnest hom´eomorphe,
par la projection st´er´eographique, `a la sph`ere unit´e Snde Rn+1, pour la norme euclidienne.

On rappelle que la projection st´er´eographique de centre le pˆole “Nord” (resp. “Sud”) est l’application
Pde Rnsur Snest d´efinie par
(xi=2ui
1+u2
1+...+u2
n
, i = 1,2, . . . n,
xn+1 =u2
1+...+u2 n−1
1+u2
1+...+u2
n
,  = 1 (resp. −1).
12. a) D´emontrer que toute application continue d’un espace compact non vide dans Radmet un maximum
et un minimum.
b) En d´eduire que si fest une fonction r´eelle (c’est-`a-dire `a valeurs dans R) continue sur un espace
compact non vide, alors elle est born´ee.
13. a) Soit Xun espace topologique, montrer l’´equivalence des propri´et´es suivantes.
i) Tout recouvrement ouvert d´enombrable contient un sous-recouvrement fini.
ii) Toute suite d´ecroissante de ferm´es non vides a une intersection non vide.
iii) Toute suite d’´el´ements de Xadmet une valeur d’adh´erence.
b) Montrer qu’un espace topologique m´etrisable est compact si, et seulement si, tout recouvrement
ouvert d´enombrable contient un sous-recouvrement fini.
14. Un espace topologique Xest appel´e un espace de Lindel¨of si tout recouvrement de Xcontient un
sous-recouvrement d´enombrable.
a) Soit Xun espace topologique admettant une base de topologie d´enombrable et soit (Oi) une famille
d’ouverts de X. Montrer qu’il existe une partie d´enombrable Jde Itelle que ∪i∈JOi=∪i∈IOi.
b) En d´eduire que tout espace `a base topologique d´enombrable est un espace de Lindel¨of et que toute
base de topologie contient une base de topologie d´enombrable.
c) Soit Xun espace s´epar´e tel que toute suite admette une valeur d’adh´erence, montrer que Xest
compact si, et seulement si, Xest un espace de Lindel¨of.
15. Soient Xun espace connexe et (Oi∈I) un recouvrement ouvert de X. Montrer que pour tout x, y ∈X, il
existe une sous-famille finie (Oip)1≤p≤ntelle que x∈ Oi1,y∈ Oinet Oip∩Oip+1 6=∅pour 1 ≤p≤n−1.
16. Soit (Kn) une suite d´ecroissante de compacts non vides dans un espace topologique X.
a) Montrer que K=∩∞
n=0Knest un compact non vide et, pour tout voisinage Vde K, il existe n∈N
tel que Kn⊂V.
b) Si tous les Knsont connexes, montrer que Kest connexe1.
17. On appelle cube de Hilbert et on note Iωl’espace topologique d´efini par Iω=Q∞
i=1 Iiet muni de la
topologie produit usuelle, o`u Ii= [0,1], pour tout i∈N∗. Montrer que Iωest compact, m´etrisable et
connexe par arc.
1On rappelle que si Aet Bsont deux parties ferm´ees disjointes d’un espace topologique compact, alors il existe Uet Vdeux
ouverts disjoints de Xtels que A⊂Uet B⊂V.