M1 – Analyse fonctionnelle feuille d`exercices n 1 1. Un ensemble B

M1 – Analyse fonctionnelle
feuille d’exercices n◦ 1
1. Un ensemble B de parties ouvertes d’un espace topologique X est dite base de la topologie de X si
tout ouvert de X est réunion d’éléments de B.
Soit X un espace topologique, montrer qu’un ensemble B de parties ouvertes est une base de la topologie
de X si, et seulement si, pour tout x ∈ X, l’ensemble Sx = {O ∈ B; x ∈ O} est un système fondamental
de voisinage de x.
2. Soient X et Y deux espaces topologiques et f : X → Y une application, montrer l’équivalence des
propriétés suivantes.
a) f est continue.
b) Pour tout A ∈ P(Y ), f −1 (A◦ ) ⊂ (f −1 (A))◦ .
c) Pour tout A ∈ P(Y ), f −1 (A) ⊂ f −1 (A).
3. Soient X un espace topologique et Y une partie de X. Montrer que la topologie induite Ti sur Y est
la moins fine des topologies sur Y , rendant l’injection canonique I : x → x, continue de Y dans X.
4. Soit X un espace topologique. Démontrer le résultat suivant :
Pour qu’un point a ∈ X soit adhérent à une partie A de X, il suffit qu’il existe une suite d’éléments de
A qui converge vers a. Si X est métrisable, ou plus généralement si tout point de X admet un système
fondamental dénombrable de voisinages, cette condition est également nécessaire.
(En particulier pour qu’une partie d’un espace topologique métrisable soit fermée, il faut et il suffit
qu’elle contienne toutes les limites de ses suites convergentes dans X.)
Q
5. Soit (Xi )i∈I une famille d’espaces topologiques. Soient, pour tout i, Ai une partie de Xi et A = i∈I Ai .
Q
Montrer que l’adhérence A de A est égale au produit des adhérences i∈I Ai .
6. On appelle espace normal un espace topologique X séparé, ayant la propriété suivante : si A et B sont
deux parties fermés disjointes, elles ont des voisinages disjoints. Démontrer
a) un espace topologique métrisable est normal,
b) un espace compact est normal.
7. Soit (Xi )i∈I une famille d’espaces topologiques
telle que I est non dénombrable et tous les Xi ont
Q
au moins deux points. Soient X = i∈I Xi , a ∈ X et V0 , . . . , Vn , . . . une suite de voisinages de a.
Démontrer que ∩n≥0 Vn contient un infinité d’éléments. En déduire que X est non métrisable.
8. Démontrer que tout espace compact est régulier : tout point admet un système fondamental de voisinages compacts.
9. Soit X un espace métrisable. Démontrer qu’un point a est adhérent à une suite (xn ) si, et seulement
si, (xn ) possède une sous-suite convergente vers a.
10. Soit X un espace compact. Démontrer que pour qu’une suite d’éléments de X soit convergente vers a,
il faut et il suffit qu’elle admette a comme seul point adhérent.
11. Démontrer que le compactifié d’Alexandroff R̃n de l’espace localement compact Rn est homéomorphe,
par la projection stéréographique, à la sphère unité Sn de Rn+1 , pour la norme euclidienne.
On rappelle que la projection stéréographique de centre le pôle “Nord” (resp. “Sud”) est l’application
P de Rn sur Sn est définie par
(
i
,
i = 1, 2, . . . n,
xi = 1+u22u
+...+u2
n
1
u2 +...+u2 −1
1
n
xn+1 = 1+u
2 +...+u2 ,
1
= 1 (resp. − 1).
n
12. a) Démontrer que toute application continue d’un espace compact non vide dans R admet un maximum
et un minimum.
b) En déduire que si f est une fonction réelle (c’est-à-dire à valeurs dans R) continue sur un espace
compact non vide, alors elle est bornée.
13. a) Soit X un espace topologique, montrer l’équivalence des propriétés suivantes.
i) Tout recouvrement ouvert dénombrable contient un sous-recouvrement fini.
ii) Toute suite décroissante de fermés non vides a une intersection non vide.
iii) Toute suite d’éléments de X admet une valeur d’adhérence.
b) Montrer qu’un espace topologique métrisable est compact si, et seulement si, tout recouvrement
ouvert dénombrable contient un sous-recouvrement fini.
14. Un espace topologique X est appelé un espace de Lindelöf si tout recouvrement de X contient un
sous-recouvrement dénombrable.
a) Soit X un espace topologique admettant une base de topologie dénombrable et soit (Oi ) une famille
d’ouverts de X. Montrer qu’il existe une partie dénombrable J de I telle que ∪i∈J Oi = ∪i∈I Oi .
b) En déduire que tout espace à base topologique dénombrable est un espace de Lindelöf et que toute
base de topologie contient une base de topologie dénombrable.
c) Soit X un espace séparé tel que toute suite admette une valeur d’adhérence, montrer que X est
compact si, et seulement si, X est un espace de Lindelöf.
15. Soient X un espace connexe et (Oi∈I ) un recouvrement ouvert de X. Montrer que pour tout x, y ∈ X, il
existe une sous-famille finie (Oip )1≤p≤n telle que x ∈ Oi1 , y ∈ Oin et Oip ∩Oip+1 6= ∅ pour 1 ≤ p ≤ n−1.
16. Soit (Kn ) une suite décroissante de compacts non vides dans un espace topologique X.
a) Montrer que K = ∩∞
n=0 Kn est un compact non vide et, pour tout voisinage V de K, il existe n ∈ N
tel que Kn ⊂ V .
b) Si tous les Kn sont connexes, montrer que K est connexe1 .
Q∞
17. On appelle cube de Hilbert et on note I ω l’espace topologique défini par I ω = i=1 Ii et muni de la
topologie produit usuelle, où Ii = [0, 1], pour tout i ∈ N∗ . Montrer que I ω est compact, métrisable et
connexe par arc.
1 On rappelle que si A et B sont deux parties fermées disjointes d’un espace topologique compact, alors il existe U et V deux
ouverts disjoints de X tels que A ⊂ U et B ⊂ V .