énoncé

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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
2 octobre 2014
Feuille d’exercices no2
Exercice 1 : questions diverses
1. Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique X. D´eterminez si les affirmations suivantes
sont vraies ou fausses en g´en´eral. Lorsqu’elles d´ecrivent une ´egalit´e fausse, indiquez si au moins
l’une des inclusions est vraie.
a) ˚
˚
A∪B=˚ A∪˚ Bb) A∪B=A∪Bc) ∂(A∪B) = ∂A ∪∂B
2. Soit (X, d) un espace m´etrique. Soit F⊂Xun ferm´e non-vide. Pour tout x∈X, on note
d(x, F ) = inf
y∈Fd(x, y). Montrer que x→d(x, F ) est une application continue et que d(x, F )=0
si et seulement si x∈F.
3. Soient Xet Ydeux espaces topologiques. Montrer qu’une fonction f:X→Yest continue
si et seulement si, pour tout ensemble A⊂X,f(A)⊂f(A).
Exercice 2 : topologie de la limite sup´erieure sur R.
On munit Rde la topologie Tlim sup engendr´ee par les intervalles de la forme ]−∞, a] et ]b, +∞[.
1. Montrer que les intervalles ]a, b] (avec a < b) forment une base d’ouverts de cette topologie.
2. Cette topologie est-elle moins fine que la topologie usuelle ? Plus fine ?
3. D´eterminer l’adh´erence de ]a, b].
4. Montrer que Qest dense dans Rpour cette topologie.
5. Montrer que cette topologie n’est pas m´etrisable.
[Indication : Montrer qu’il n’existe pas de base d´enombrable d’ouverts et utiliser 4.]
Exercice 3 : espaces normaux et lemme d’Urysohn
On dit qu’un espace topologique Xest normal s’il v´erifie la propri´et´e suivante :
Quels que soient F0, F1⊂Xdes ferm´es disjoints, il existe U0, U1⊂Xdes
ouverts disjoints tels que F0⊂U0et F1⊂U1.
Nous allons montrer que cette propri´et´e est ´equivalente au lemme d’Urysohn :
Quels que soient F0, F1⊂Xdes ferm´es disjoints, il existe une fonction
continue f:X→[0; 1] qui vaut 0 sur F0et 1 sur F1.
1. Montrer que, si Xv´erifie le lemme d’Urysohn, alors Xest normal.
2. Dans cette question, on suppose que Xest normal et on d´emontre qu’il v´erifie le lemme
d’Urysohn.
Soient F0, F1des ferm´es disjoints.
a) On note Dl’ensemble des r´eels dyadiques de [0; 1] (c’est-`a-dire l’ensemble des r´eels de la
forme k2−navec n∈N, k ∈ {0, ..., 2n}).
Montrer qu’il existe une famille de ferm´es (Gx)x∈D telle que :
1

(1) G0=F0et G1⊂X−F1
(2) Si r, s ∈ D avec r < s, alors Gr⊂˚ Gs.
b) On pose :
f(x) = inf{r∈ D tq x∈Gr}si x∈G1
= 1 sinon
Montrer que fest continue et `a images dans [0; 1], que fvaut 0 sur F0et 1 sur F1.
3. Montrer que tout espace m´etrique est normal.
Exercice 4 : th´eor`eme de m´etrisabilit´e de Nagata-Smirnov
On dit qu’un espace topologique Xest r´egulier s’il est s´epar´e et v´erifie la propri´et´e suivante :
pour tout B⊂Xferm´e et tout x∈X−B, il existe U, V deux ouverts disjoints tels que B⊂U
et x∈V.
On dit qu’un ensemble U ⊂ P(X) de parties de Xest localement fini si tout point x∈X
admet un voisinage Vpour lequel {U∈ U tq U∩V6=∅} est fini.
Le th´eor`eme de Nagata-Smirnov dit qu’un espace topologique Xest m´etrisable si et seulement
si il v´erifie les deux propri´et´es suivantes :
(1) Xest r´egulier
(2) Il existe une base d’ouverts de Xqui est une union d´enombrable de sous-ensembles
localement finis de P(X).
Dans cet exercice, on montre que le sens direct de ce th´eor`eme : si Xv´erifie (1) et (2), alors X
est m´etrisable.
On note {Un}n∈Ndes sous-ensembles localement finis de P(X) dont l’union forme une base
d’ouverts de X.
1. a) Montrer que pour tout net tout V ⊂ Un:
[
V∈V
V=[
V∈V
V
b) Soit A⊂Xun ouvert. Pour tout n, on note Un=S
U∈Un,U⊂A
U. Montrer que :
∀n∈N, Un⊂Aet [
n∈N
Un=A
2. a) Soient F1, F2⊂Xdeux ferm´es disjoints. On note (Un)n∈Net (Vn)n∈Ndes familles
d´enombrables d’ouverts de Xtelles que :
∀n∈N, Un⊂X−F1et [
n∈N
Un=X−F1
∀n∈N, V n⊂X−F2et [
n∈N
Vn=X−F2
2

Elles existent, d’apr`es la question pr´ec´edente.
Pour tout n∈N, on note U0
n=Un−n
S
k=1
Vket V0
n=Vn−n
S
k=1
Uk.
On pose U0=S
n∈N
U0
net V0=S
n∈N
V0
n. Montrer que U0et V0sont des ouverts disjoints tels que
F2⊂Uet F1⊂V.
b) En d´eduire que Xest normal.
3. Montrer que, pour tout U⊂Xouvert, il existe f:X→[0; 1] continue telle que :
∀x∈U, f(x)>0 et ∀x∈X−U, f(x) = 0
[Indication : Utiliser le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent et des ouverts v´erifiant la propri´et´e de
la question 1.b) pour A=U.]
4. Pour tous n∈Net U∈ Un, on note fn,U une fonction d´efinie comme dans la question
pr´ec´edente et on pose gn,U =fn,U /n (de sorte de gn,U est `a images dans [0; 1/n]).
Pour tous x, y ∈X, on pose :
d(x, y) = sup
n,U
|gn,U (x)−gn,U (y)|
Montrer que dest une distance, qui engendre la topologie de X.
Exercice 5 : sur la s´eparation
1. On dit qu’un espace topologique Xest :
(0) de Kolmogorov (ou T0) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe un voisinage Vde l’un
des deux points qui ne contient pas l’autre point.
(1) accessible (ou T1) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe un voisinage Vde xtel que
y /∈V.
(2) s´epar´e (ou T2) si, pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe Vxun voisinage de xet Vyun
voisinage de ytels que Vx∩Vy=∅.
Les implications (2) ⇒(1) ⇒(0) sont vraies. Montrer que les r´eciproques sont fausses.
2. [Une propri´et´e universelle]
On va montrer le th´eor`eme suivant : soit Xun espace topologique. Il existe Yun espace
s´epar´e et π:X→Ycontinue telle que, pour tout espace topologique s´epar´e et toute fonction
f:X→Zcontinue, il existe une unique g:Y→Zcontinue v´erifiant f=g◦π.
a) Pour tous x, y ∈X, on note xRysi, pour toute fonction f:X→Zcontinue `a valeurs dans
un espace topologique s´epar´e Z,f(x) = f(y). Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
b) On pose Y=X/R, c’est-`a-dire l’ensemble des classes d’´equivalence de Xpour la relation
R. On note π:X→Yl’application qui `a un ´el´ement xassocie sa classe d’´equivalence pour R.
On dit que U⊂Yest un ouvert de Ysi π−1(U) est un ouvert de X.
Montrer que cela d´efinit bien une topologie sur Y.
c) Montrer que Yest s´epar´e pour cette topologie.
d) D´emontrer le th´eor`eme.
e) Montrer que si (Y, π) et (Y0, π0) sont deux espaces s´epar´es v´erifiant la propri´et´e du th´eor`eme,
alors ils sont isomorphes comme espaces topologiques.
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Exercice 6 : th´eor`eme de Cantor-Bendixson
Soit Aune partie d’un espace topologique X. On dit qu’un point x∈Xest un point de
condensation de Asi, pour tout voisinage Vde x, l’intersection V∩Aest non-d´enombrable.
On note A∗l’ensemble des points de condensation de A.
1. Si Xadmet une base d´enombrable d’ouverts, montrer que A−(A∗∩A) est d´enombrable.
En d´eduire que A∗=A∗∗.
2. En d´eduire le th´eor`eme de Cantor-Bendixson : tout espace topologique `a base d´enombrable
d’ouverts s’´ecrit comme la r´eunion disjointe de deux sous-ensembles X1et X2, o`u X1est ferm´e
sans point isol´e et X2est d´enombrable.
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