Université Paris 13 Département de Mathématiques Master 1

Université Paris 13 Département de Mathématiques
Master 1 Topologie, 2012/2013
Feuille n◦1
Topologie générale
Exercice 1. Soit Xun espace topologique. Soit A⊂Xune partie de X. Montrer que Aest
ouvert dans Xsi et seulement si pour tout x∈Ail existe un ouvert Ucontenant xet contenu
dans A.
Exercice 2. Soit Xet Ydeux un espaces topologiques. Vérifuer que la définition de la topologie
produit donnée dans le copurs est valide : à savoir que l’intersection d’un nombre fini d’ouverst
est un ouvert.
Exercice 3. Soit Xun espace munit de deux distances équivalentes. Montrer que ces deux
distances définissent la même topologie.
Exercice 4. Montrer que
(i) le produit de deux espaces Hausdorff est Hausdorff;
(ii) tout sous-espace d’un espace Hausdorff est Hausdorff;
(iii) un espace topologique Xest Hausdorff si est seulement si la diagonale ∆ = {x×x:
x∈X}est fermé dans X×X.
Exercice 5. On considère Rmuni de sa topologie usuelle. Déterminer l’adhérence et l’intérieur
de Qdans R.
Exercice 6. Soient Xun espace topologique et A⊂Xune partie de X. La frontière ∂A de A
dans Xest définie par
∂A =¯ A∩(X−A).
Montrer que
(i) l’intérieur Aoet la frontière ∂A sont disjoints, et que ¯ A=Ao∪∂A.
(ii) ∂A =∅si et seulement si Aest à la fois ouverte et fermée.
(iii) Aest ouverte si et seulement si ∂A =¯ A−A.
(iv) Si Aest ouverte, est-ce qu’il est vrai que A= ( ¯ A)o?
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Exercice 7. Montrer que pour fonctions f:R→Rla définition -δclassique de la continuité
implique la définition qui utilise les ouverts dans R.
Exercice 8. Donner des exemples d’images d’ouverts (resp. de fermés) dont l’image par une
application continue n’est pas ouverte (resp. fermée).
Exercice 9. Soient Xun espace topologique et f:X→Yune fonction continue dans un
espace topologique Hausdorff Y. Soit A⊂Xtel que ¯ A=X(Aest donc dense dans X). Soit
g:X→Yune fonction continue telle que g(x) = f(x)pour tout x∈A. Montrer que gest
uniquement déterminée par f.
Exercice 10. Trouver une fonction f:R→Rqui est continue en un point seulement.
Exercice 11. Soit Xun espace métrique muni de sa fonction de distance d:X×X→R.
(i) Montrer que dest continue.
(ii) Soit X0est un espace topologique dont l’espace sous-jacent est X. Montrer que si
d:X0×X0→Rest continue, alors la topologie de X0est plus fine que la topologie de X.
On peut résumer le résultat de cet exercice de la manière suivante: Si Xpossède une métrique
d, alors la topologie induite par dest la plus grossière par rapport à laquelle la fonction dsoit
continue.
Exercice 12. Soit Xun espace topologique et Aun sous-espace. On dira que Aest localement
fermé dans Xsi pour tout a∈Ail existe Vvoisinage de adans Xtel que A∩Vsoit un fermé
de V.
Donner des exemples de sous-espaces localement fermés et non localement fermés.
Montrer que si Aest localement fermé si et seulement si c’est l’intersection d’un ouvert avec
un fermé de de X.
Pour tout a∈Aon choisit un voisinage Vaayant la propriété requise. Soit Ual’intérieur de
Va,Ula réunion sur tout a∈Ades Ua. On montre que A=¯ A∩U. L’inclusion est claire, il faut
montrer que si z∈¯ A∩Ualors z∈A, on sait que z∈Uapour un certain a. Mais comme zest
dans l’adhérence de A, pour tout voisinage Vde z,Ua∩Va une intersection non vide avec A.
Mais A∩Vaest fermé dans Va, donc z∈A∩Va.
La réciproque est claire.
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