Licence de Mathématiques A Université J. Fourier Topologie 2013

Licence de Math´ematiques A Universit´e J. Fourier
Topologie 2013-2014
Feuille d’exercices 5
Ouverts, ferm´es, adh´erence, int´erieur
Exercice 1 1) La partie A= [0,1] est elle ouverte, ferm´ee dans (R, us) ? Mˆeme question
pour ]0,1[, [0,1[, ]0,1], {2}, [0,1] ∪ {2},{0}∪{1
n|n∈N∗}.
2) Soit X= [0,1] muni de la distance induite par la valeur absolue. La partie
A= [0,1] est-elle ouverte, ferm´ee dans X? Mˆeme question pour ]0,1[, [0,1[, ]0,1],
[1/2,1[, [1/4,1/3].
3) Mˆeme question lorsque X=]0,1[.
4) Mˆeme question lorsque X= [0,1]∪{2}et A= [0,1], {2}, ]0,1[∪{2}, [1/2,1] ∪{2}.
5) Mˆeme question lorsque X={0}∪{1
n|n∈N∗}et A={0},{1 n},{1 n|n∈N∗}.
Exercice 2 Soit Xle sous-ensemble de R2d´efini par
X={(x, y)|x > 0, y ≥0, xy < 1}∪{(0,0)}.
1) Est-ce une partie ouverte, ferm´ee dans (R2, us) ? D´eterminer
◦
X,X,∂X.
2) On munit Xde la distance induite. La partie ]0,+∞[×{0}est-elle ouverte,
ferm´ee dans X? Dans (R2, us) ? Mˆeme question pour {(x, y)|x > 0, y > 0, xy < 1}et
{(x, y)|x > 0, y ≥0, xy ≤1/2}.
Exercice 3 Pour chacune des parties Ade Rci-dessous, d´eterminer
◦
A,A,∂A.
1) A=] − ∞,1[∪]1,2] ∪ {3}.
2) A=Z.
3) A=(−1)p+1
2p|p∈Z.
4) A=Q.
Exercice 4 Mˆeme question dans R2avec
A={(x, 0) |x∈]− ∞,−1]} ∪ [−1,1[×[−1,1[
Exercice 5 D´eterminer pour les parties suivantes Ade X=C([0,1],R), muni de la norme
de la convergence uniforme, si elles sont ouvertes, ferm´ees, leur int´erieur et leur adh´erence:
1) A={f∈X| ∀x∈D, f(x)=0}, o`u D⊂[0,1] est fix´e;
2) A={f∈X| ∃x∈[0,1/2], f(x)>1};
3) A={f∈X| ∀x∈[0,1], f(x)≤0}.
Exercice 6 Soit X=C([0,1],R), muni de la norme de la convergence uniforme.
1) Pour n≥1, on pose fn(x) = n+2
nxsi x∈[0,1/2], et fn(x) = n−2 n(x−1) + 1 si
x∈[1/2,1]. Dessiner le graphe de fnet montrer que (fn) converge dans Xvers f∈X`a
d´eterminer.
2) Montrer que D={f∈X|fest d´erivable en 1/2}est d’int´erieur vide dans X.
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Topologies
Exercice 7 D´eterminer toutes les topologies sur un ensemble `a 3 ´el´ements. Donner une
base d’ouverts pour chacune et dire si elle sont s´epar´ees.
Exercice 8 O={∅,{1,2},{1,2,3},{2,3,−4},{1,2,3,−4},Z}est elle une topologie sur
Z?
Exercice 9 Quelles conditions doivent v´erifier Aet Bpour que O={∅, A, B, E}soit une
topologie sur E?
Exercice 10 Soit O={∅, A ⊂Rtel que Acest d´enombrable}.
1) Montrer que Oest une topologie sur R.
2) Montrer que toute intersection d´enombrable d’ouverts est un ouvert.
3) Montrer que l’intersection de deux ouverts non vides est non vide.
Exercice 11 Soit Xun ensemble, B ⊂ P(X). Montrer que Best une base de topologie
sur Xsi et seulement si les propri´et´es suivantes sont satisfaites :
(i) SB∈B B=X.
(ii) ∀(B, B0)∈ B2,∀x∈B∩B0,∃B00 ∈ B, x ∈B00 ⊂B∩B0.
Exercice 12 Dans R2, on note Bl’ensemble des disques ouverts dont le centre appartient
`a Z2et dont le rayon appartient `a N. Soit Ol’ensemble des r´eunions d’´el´ements de B.O
est-elle une topologie sur R2?
Exercice 13 On se donne pour tout r´eel xla famille d’intervalles de R,
Σx={[x, a[, a > x}.
1) Montrer que Σxest une base de voisinage d’une topologie Osur R. Le singleton
{x}est-il un voisinage de cette topologie ?
2) Montrer que les ouverts usuels de Rsont des ouverts de O. Le singleton {x}est-il
un ferm´e ?
3) Les suites un=1
net vn=−1 nsont-elles convergentes dans (R,O) ?
4) L’espace topologique (R,O) est-il s´epar´e ?
5) Montrer que (R,O) n’est pas m´etrisable.
Exercice 14 Soit Aune partie d’un espace topologique.
1) Montrer que si Aest ouvert,
◦
∂(A) = ∅; ce r´esultat reste-il vrai avec Aferm´e ?
Avec Aquelconque ?
2) Montrer que : Aouvert ⇐⇒ A∩∂(A) = ∅.
3) Montrer que : Aferm´e ⇐⇒ ∂(A)⊂A.
4) Montrer que : Aouvert et ferm´e ⇐⇒ ∂(A) = ∅.
5) Montrer que ∂(A)⊂∂A et ∂(
◦
A)⊂∂A. Donner un exemple dans Ro`u ces trois
ensembles sont distincts.
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Continuit´e et topologie
Exercice 15 Soit f: (E, d)→(F, δ). Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:
(i) fest continue sur E
(ii) Pour tout A⊂F,f−1(
◦
A)⊂
◦
f−1(A).
(iii) Pour tout A⊂F,f−1(A)⊂f−1(A).
Donner un exemple o`u f−1(A)6=f−1(A).
Exercice 16 Soit (E, d) un espace m´etrique, A⊂Eet χA:E→ {0,1}la fonction
caract´eristique de A.
1) Montrer que χAest continue en xsi et seulement si x /∈∂A.
2) A quelle condition χAest continue sur E?
3) En d´eduire l’´equivalence entre
(i) ∅et Esont les seules parties ouvertes et ferm´ees de E.
(ii) Toute application continue E→ {0,1}est constante.
Exercice 17 Soient X, Y des espaces topologiques et f:X→Y.
1) Montrer que fest continue en xsi et seulement si f(x)∈f(A) pour tout A⊂X
tel que x∈A.
2) Montrer que fcontinue si et seulement si f(A)⊂f(A) pour tout A⊂X.
Exercice 18 Soit Eet Fdeux espaces topologiques et f:E→F. Soit A1et A2deux
parties non vides de Es´epar´ees par des ouverts, i.e. telles qu’il existe deux ouverts O1et
O2de E, disjoints, tels que Ai⊂Oi,i= 1,2.
1) D´emontrer que si les restrictions de f`a A1et A2sont continues, alors fest
continue sur A∪B.
2) Donnert un exemple de parties non s´epar´ees par des ouverts o`u cette implication
est fausse.
Exercice 19 Soient X, Y des espaces topologiques et f:X→Y. On dit que fest
ouverte si pout tout ouvert O⊂X,f(O) est ouvert dans Y. On dit que fest ferm´ee si
pout tout ferm´e F⊂X,f(F) est ferm´e dans Y.
1) On suppose fouverte. Soit A⊂Xun ouvert. Montrer que la restriction f|Aest
ouverte. Le r´esultat reste t’il vrai sans l’hypoth`ese que Aest ouvert ?
2) On suppose fferm´ee. Soit A⊂Xun ferm´e. Montrer que la restriction f|Aest
ferm´ee. Le r´esultat reste t’il vrai sans l’hypoth`ese que Aest ferm´e ?
3) On suppose fouverte et ferm´ee. Montrer que pour tout B⊂Y, l’application
x7→ f(x) de f−1(B) dans Best ouverte et ferm´ee.
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Exercice 20 Soit Xun espace topologique. On suppose que pour tous x6=ydans X,
il existe une application continue fde Xdans un espace topologique s´epar´e telle que
f(x)6=f(y). Montrer que Xest s´epar´e.
Exercice 21 (Topologie de la convergence simple : non m´etrisable) Soit El’espace vec-
toriel des applications de [0,1] dans R. Si f∈E,N∈N∗,x= (x1, . . . , xN)∈[0,1]N, et
ε= (ε1, . . . , εN)∈(R∗
+)N, on d´efinit
Vf,x,ε ={g∈E| ∀i∈ {1,· · · , N},|f(xi)−g(xi)|< εi}
On d´efinit Ocomme l’ensemble des r´eunions d’ensembles pr´ec´edents.
1) Montrer que Od´efinit une topologie sur E.
2) Montrer qu’une suite de fonctions de Eest convergente pour cette topologie si et
seulement si elle converge simplement.
3) Soit Dl’ensemble des fonctions de Enulles sauf en un nombre fini de points.
Montrer que Dest dense dans E.
4) En utilisant une fonction de Enon nulle sur un ensemble non d´enombrable,
montrer que la topologie pr´ec´edente n’est pas m´etrisable.
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