Licence de Mathématiques A Université J. Fourier Topologie 2013

Licence de Mathématiques A
Topologie
Université J. Fourier
2013-2014
Feuille d’exercices 5
Ouverts, fermés, adhérence, intérieur
Exercice 1 1) La partie A = [0, 1] est elle ouverte, fermée dans (R, us) ? Même question
pour ]0, 1[, [0, 1[, ]0, 1], {2}, [0, 1] ∪ {2}, {0} ∪ { n1 | n ∈ N∗ }.
2) Soit X = [0, 1] muni de la distance induite par la valeur absolue. La partie
A = [0, 1] est-elle ouverte, fermée dans X ? Même question pour ]0, 1[, [0, 1[, ]0, 1],
[1/2, 1[, [1/4, 1/3].
3) Même question lorsque X =]0, 1[.
4) Même question lorsque X = [0, 1] ∪ {2} et A = [0, 1], {2}, ]0, 1[∪{2}, [1/2, 1] ∪ {2}.
5) Même question lorsque X = {0} ∪ { n1 | n ∈ N∗ } et A = {0}, { n1 }, { n1 | n ∈ N∗ }.
Exercice 2 Soit X le sous-ensemble de R2 défini par
X = {(x, y) | x > 0, y ≥ 0, xy < 1} ∪ {(0, 0)}.
◦
1) Est-ce une partie ouverte, fermée dans (R2 , us) ? Déterminer X, X, ∂X.
2) On munit X de la distance induite. La partie ]0, +∞[×{0} est-elle ouverte,
fermée dans X? Dans (R2 , us) ? Même question pour {(x, y) | x > 0, y > 0, xy < 1} et
{(x, y) | x > 0, y ≥ 0, xy ≤ 1/2}.
◦
Exercice 3 Pour chacune des parties A de R ci-dessous, déterminer A, A, ∂A.
1) A =] − ∞, 1[∪]1, 2] ∪ {3}.
2) A = Z.
3) A = (−1)p + 21p | p ∈ Z .
4) A = Q.
Exercice 4 Même question dans R2 avec
A = {(x, 0) | x ∈] − ∞, −1]} ∪ [−1, 1[×[−1, 1[
Exercice 5 Déterminer pour les parties suivantes A de X = C([0, 1], R), muni de la norme
de la convergence uniforme, si elles sont ouvertes, fermées, leur intérieur et leur adhérence:
1) A = {f ∈ X | ∀x ∈ D, f (x) = 0}, où D ⊂ [0, 1] est fixé;
2) A = {f ∈ X | ∃x ∈ [0, 1/2], f (x) > 1};
3) A = {f ∈ X | ∀x ∈ [0, 1], f (x) ≤ 0}.
Exercice 6 Soit X = C([0, 1], R), muni de la norme de la convergence uniforme.
1) Pour n ≥ 1, on pose fn (x) = n+2
x si x ∈ [0, 1/2], et fn (x) = n−2
(x − 1) + 1 si
n
n
x ∈ [1/2, 1]. Dessiner le graphe de fn et montrer que (fn ) converge dans X vers f ∈ X à
déterminer.
2) Montrer que D = {f ∈ X | f est dérivable en 1/2} est d’intérieur vide dans X.
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Topologies
Exercice 7 Déterminer toutes les topologies sur un ensemble à 3 éléments. Donner une
base d’ouverts pour chacune et dire si elle sont séparées.
Exercice 8 O = {∅, {1, 2}, {1, 2, 3}, {2, 3, −4}, {1, 2, 3, −4}, Z} est elle une topologie sur
Z?
Exercice 9 Quelles conditions doivent vérifier A et B pour que O = {∅, A, B, E} soit une
topologie sur E ?
Exercice 10 Soit O
1) Montrer que
2) Montrer que
3) Montrer que
= {∅, A ⊂ R tel que Ac est dénombrable}.
O est une topologie sur R.
toute intersection dénombrable d’ouverts est un ouvert.
l’intersection de deux ouverts non vides est non vide.
Exercice 11 Soit X un ensemble, B ⊂ P(X). Montrer que B est une base de topologie
sur X si et seulement si les propriétés suivantes sont satisfaites :
S
(i) B∈B B = X.
(ii) ∀(B, B 0 ) ∈ B 2 , ∀x ∈ B ∩ B 0 , ∃B 00 ∈ B, x ∈ B 00 ⊂ B ∩ B 0 .
Exercice 12 Dans R2 , on note B l’ensemble des disques ouverts dont le centre appartient
à Z2 et dont le rayon appartient à N. Soit O l’ensemble des réunions d’éléments de B. O
est-elle une topologie sur R2 ?
Exercice 13 On se donne pour tout réel x la famille d’intervalles de R,
Σx = {[x, a[, a > x}.
1) Montrer que Σx est une base de voisinage d’une topologie O sur R. Le singleton
{x} est-il un voisinage de cette topologie ?
2) Montrer que les ouverts usuels de R sont des ouverts de O. Le singleton {x} est-il
un fermé ?
3) Les suites un = n1 et vn = − n1 sont-elles convergentes dans (R, O) ?
4) L’espace topologique (R, O) est-il séparé ?
5) Montrer que (R, O) n’est pas métrisable.
Exercice 14 Soit A une partie d’un espace topologique.
◦
1) Montrer que si A est ouvert, ∂(A) = ∅; ce résultat reste-il vrai avec A fermé ?
Avec A quelconque ?
2) Montrer que : A ouvert ⇐⇒ A ∩ ∂(A) = ∅.
3) Montrer que : A fermé ⇐⇒ ∂(A) ⊂ A.
4) Montrer que : A ouvert et fermé ⇐⇒ ∂(A) = ∅.
◦
5) Montrer que ∂(A) ⊂ ∂A et ∂(A) ⊂ ∂A. Donner un exemple dans R où ces trois
ensembles sont distincts.
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Continuité et topologie
Exercice 15 Soit f : (E, d) → (F, δ). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) f est continue sur E
◦
◦
(ii) Pour tout A ⊂ F , f −1 (A) ⊂ f −1 (A).
(iii) Pour tout A ⊂ F , f −1 (A) ⊂ f −1 (A).
Donner un exemple où f −1 (A) 6= f −1 (A).
Exercice 16 Soit (E, d) un espace métrique, A ⊂ E et χA : E → {0, 1} la fonction
caractéristique de A.
1) Montrer que χA est continue en x si et seulement si x ∈
/ ∂A.
2) A quelle condition χA est continue sur E ?
3) En déduire l’équivalence entre
(i) ∅ et E sont les seules parties ouvertes et fermées de E.
(ii) Toute application continue E → {0, 1} est constante.
Exercice 17 Soient X, Y des espaces topologiques et f : X → Y .
1) Montrer que f est continue en x si et seulement si f (x) ∈ f (A) pour tout A ⊂ X
tel que x ∈ A.
2) Montrer que f continue si et seulement si f (A) ⊂ f (A) pour tout A ⊂ X.
Exercice 18 Soit E et F deux espaces topologiques et f : E → F . Soit A1 et A2 deux
parties non vides de E séparées par des ouverts, i.e. telles qu’il existe deux ouverts O1 et
O2 de E, disjoints, tels que Ai ⊂ Oi , i = 1, 2.
1) Démontrer que si les restrictions de f à A1 et A2 sont continues, alors f est
continue sur A ∪ B.
2) Donnert un exemple de parties non séparées par des ouverts où cette implication
est fausse.
Exercice 19 Soient X, Y des espaces topologiques et f : X → Y . On dit que f est
ouverte si pout tout ouvert O ⊂ X, f (O) est ouvert dans Y . On dit que f est fermée si
pout tout fermé F ⊂ X, f (F ) est fermé dans Y .
1) On suppose f ouverte. Soit A ⊂ X un ouvert. Montrer que la restriction f|A est
ouverte. Le résultat reste t’il vrai sans l’hypothèse que A est ouvert ?
2) On suppose f fermée. Soit A ⊂ X un fermé. Montrer que la restriction f|A est
fermée. Le résultat reste t’il vrai sans l’hypothèse que A est fermé ?
3) On suppose f ouverte et fermée. Montrer que pour tout B ⊂ Y , l’application
x 7→ f (x) de f −1 (B) dans B est ouverte et fermée.
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Exercice 20 Soit X un espace topologique. On suppose que pour tous x 6= y dans X,
il existe une application continue f de X dans un espace topologique séparé telle que
f (x) 6= f (y). Montrer que X est séparé.
Exercice 21 (Topologie de la convergence simple : non métrisable) Soit E l’espace vectoriel des applications de [0, 1] dans R. Si f ∈ E, N ∈ N∗ , x = (x1 , . . . , xN ) ∈ [0, 1]N , et
ε = (ε1 , . . . , εN ) ∈ (R∗+ )N , on définit
Vf,x,ε = {g ∈ E | ∀i ∈ {1, · · · , N }, |f (xi ) − g(xi )| < εi }
On définit O comme l’ensemble des réunions d’ensembles précédents.
1) Montrer que O définit une topologie sur E.
2) Montrer qu’une suite de fonctions de E est convergente pour cette topologie si et
seulement si elle converge simplement.
3) Soit D l’ensemble des fonctions de E nulles sauf en un nombre fini de points.
Montrer que D est dense dans E.
4) En utilisant une fonction de E non nulle sur un ensemble non dénombrable,
montrer que la topologie précédente n’est pas métrisable.
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