SOUTIEN RENFORCÉ : SÉANCE 3 1. Notions de Topologie

SOUTIEN RENFORC´ E : S´ EANCE 3
BARBARA TUMPACH
1. Notions de Topologie
Definition 1. Une topologie sur un ensemble Eest la donn´ee d’une
famille Tde parties de E(T ⊂ ℘(E)), appel´ee les ouverts de E,
v´erifiant les trois conditions suivantes :
i) ∅∈T,E∈ T
ii) une intersection finie d’´el´ements de Test un ´el´ement de T
iii) une union quelconque (finie, d´enombrable ou non d´enombrable)
d’´el´ements de Test un ´el´ement de T.
Un espace Emuni d’une topologie Test appel´e un espace topologique.
Definition 2. Soit (E, T)un espace topologique. Un ensemble Fde
Eest dit ferm´e si c’est le compl´ementaire d’un ouvert, autrement dit
si Fc∈ T .
Remarque 1. L’ensemble vide et l’ensemble Esont `a la fois ouverts
et ferm´es.
Definition 3. On d´efinit sur la droite r´eelle Rune topologie , appel´ee
topologie usuelle, de la mani´ere suivante : un ensemble O⊂Esera
dit ouvert ssi pour tout point x∈Oil existe un intervalle de la forme
]x−, x +[, avec  > 0enti`erement contenu dans O.
Exercice 1. Quels sont les intervalles de Rqui sont ouverts pour la
topologie usuelle ? Quels sont les intervalles ferm´es ?
Exercice 2. D´eterminer :
\
n∈N
]a−1
n;b+1 n[
[
n∈N
[a+1
n;b−1 n]
Definition 4. On appelle voisinage d’un point x0de Eun sous-ensemble
de Econtenant un ouvert non vide de Econtenant x0.
Exercice 3. Donner une famille de voisinages d’un point x0∈Rdont
l’intersection se r´eduit a x0.
Definition 5. Une application fd’un espace topologique (X, TX)dans
un autre (Y, TY)est dite continue en x0∈Esi l’image r´eciproque de
tout voisinage de f(x0)est un voisinage de x0.
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Exercice 4. Montrer que l’on retrouve la definition que vous connais-
sez lorsque Xet Ysont ´egaux `a Rmuni de la topologie usuelle.
Definition 6. On dit qu’une application f: (X, TX)→(Y, TY)est
continue sur Xssi elle est continue au voisinage de tout point de X.
Exercice 5. Montrer qu’une application f: (X, TX)→(Y, TY)est
continue ssi l’image r´eciproque par fd’un ouvert de Yest un ouvert
de X.