Université dTEl#Oued 2eme année Master Mathématiques Institut

Université d’El-Oued 2eme année Master Mathématiques
Institut de technologie Module: Topologie générale et applications
Département de Maths et Informatiques Par : Habita Khaled. 2013-14
Série d’exercices n3
Exercice n1:(Homéomorphisme).
Soit f:R! Cnf(x) = 4x3ix:
1) Montrer que fune application linéaire.
2) fest-elle injective ? est-elle surjective ?
3) Dé…nir l’ensemble f(R)et montrer que g:R! f(R)est une homéomorphisme.
4) Calculer kgkL(R;C)et kg1kL(C;R):
Exercice n2: (Continuité de la fonction distance)
Montrer que, si Eest un espace métrique alors, la distance est une fonction Lipschitziènne
de EEdans R.
Exercice n3:(Topologie co…nie)
Soit Eun ensemble. On pose =f?g[fAE:Acest …nig:
1) Montrer que (E; )est un espace topologique quasi-compact.
2) Montrer que si Eest …nie alors =P(E)(est la topologie discrète).
3) En déduire que (E;  )est un espace compact.
4) Montrer que : (E; P (E)) est compact () Eest …ni.
Exercice n4:(convergence faible)
Soit (E; k:k)un espace vectoriel normé.
Montrer que : xn! x)xn* x:
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Exercice n5:(Continuité par rapport à une topologie)
Soit Rla topologie naturelle de R:
On pose 0=P(N)[ fR;Rg:
1) Montrer que 0est une topologie sur R:
2) Comparer les topologies Ret 0(i.e, quelle est la moins …ne que l’autre).
3) Montrer que l’espace topologique (R; R)n’est pas compact.
4) Est ce que l’espace topologique (R; 0)est quasi-compact ? Est-il compact ?
5) Montrer que l’application
f: (R; 0)! (R; R)nf(x) = sin x
n’est pas continue.
6) Est ce que l’application
f: (R; 0)! (R; R)nf(x) = 3; x = 0
5; x 6= 0:
est continue ?
7) Quelle est la topologie la moins …ne telle que l’application f: (R; )! (R; R)
est continue ?
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