Licence de Mathématiques Examen de Topologie et Calcul Différentiel Responsables : C. Klimcik et A. Pichon septembre 2004, durée: 2 heures (sans documents ni calculatrices) TOPOLOGIE I (sur 6 points) (question de cours) Énoncer soigneusement le théorème du point fixe pour une application contractante et indiquer en quelques lignes les étapes de sa démonstration. II (sur 8 points) C étant muni de sa norme usuelle |.|, on note S1 = {z ∈ C / |z| = 1} le cercle unité de C, muni de la topologie induite. 1) Rappeler la définition de la topologie induite. Soit ∼ la relation d’équivalence sur R définie par : x ∼ y ssi x − y ∈ Z. On note R/Z l’espace quotient, et q : R → R/Z la projection. 2) Rappeler la définition de la topologie quotient. 3) Considérons l’application f : R → S1 définie par f (t) = e2iπt . Démontrer qu’il existe une unique application f˜ : R/Z → S1 telle que f˜ ◦ q = f . 4) Démontrer que f˜ est bijective et continue. 5) Démontrer que R/Z est compact, et en déduire que f˜ est un homéomorphisme. III (sur 6 points) 1) Donner la définition d’un espace topologique connexe, puis d’une composante connexe d’un espace topologique. 2) Les deux lettres X et Y, vus comme des sous-espaces (dessins) dans R2 , sont-elles homéomorphes ? Justifier soigneusement. 1