Licence de Mathématiques Examen de Topologie et Calcul

Licence de Math´ematiques
Examen de Topologie et Calcul Diff´erentiel
Responsables : C. Klimcik et A. Pichon
septembre 2004, dur´ee: 2 heures
(sans documents ni calculatrices)
TOPOLOGIE
I(sur 6 points)
(question de cours)
´
Enoncer soigneusement le th´eor`eme du point fixe pour une application con-
tractante et indiquer en quelques lignes les ´etapes de sa d´emonstration.
II (sur 8 points)
C´etant muni de sa norme usuelle |.|, on note S1={z∈C/|z|= 1}le
cercle unit´e de C, muni de la topologie induite.
1) Rappeler la d´efinition de la topologie induite.
Soit ∼la relation d’´equivalence sur Rd´efinie par : x∼yssi x−y∈Z. On
note R/Zl’espace quotient, et q:R→R/Zla projection.
2) Rappeler la d´efinition de la topologie quotient.
3) Consid´erons l’application f:R→S1d´efinie par f(t) = e2iπt. D´emontrer
qu’il existe une unique application ˜ f:R/Z→S1telle que ˜ f◦q=f.
4) D´emontrer que ˜ fest bijective et continue.
5) D´emontrer que R/Zest compact, et en d´eduire que ˜ fest un hom´eomorphisme.
III (sur 6 points)
1) Donner la d´efinition d’un espace topologique connexe, puis d’une
composante connexe d’un espace topologique.
2) Les deux lettres X et Y, vus comme des sous-espaces (dessins) dans R2,
sont-elles hom´eomorphes ? Justifier soigneusement.
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