Fiche TD 4

Licence de Mathématiques
Topologie
Année 2010-2011
Fiche TD 4
Exercice 1. Soit X = (N × N) ∪ {α} avec α ∈
/ N × N. Soit V : X → P (P (X)) définit comme suit. - Si x ∈ N × N
alors V (x) = {A ⊂ X; x ∈ A}.
- Pour A ⊂ X, A ∈ V (α) si et s. si α ∈ A et il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N, A contient tous les éléments de
{n} × N sauf un nombre fini.
Remarque : on cherche à définir les voisinages d’une future topologie.
On définit alors τ ⊂ P (X) : A ⊂ X appartient à τ si et s. si pour tout x ∈ A, A ∈ V (x).
Remarque : on cherche à définir les ouverts d’une topologie comme les parties de X qui sont voisinages de chacun
de leurs points.
a) Montrer que (X, τ) est un espace topologique séparé.
b) Soit (un ) la suite de X ainsi définie : u0 = (0, 0), u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u3 = (2, 0), u4 = (1, 1), u5 = (0, 2),
u6 = (3, 0), etc. (On “remonte” ainsi toutes les “diagonales” de N × N.)
Soit S = {un ; n ∈ N}. Montrer que α ∈ S mais qu’aucune suite de S ne converge vers α.
Exercice 2. Ici, R est muni de la métrique usuelle.
a) Montrer que (R → R, x 7→ x2 ) n’est pas uniformément continue.
√
b) Montrer que (R+ → R, x 7→ x) est uniformément continue.
c) Soit f ∈ C 1 (R, R) telle que f 0 est bornée sur R. Montrer que f est uniformément continue.
Exercice 3. Pour tout n ≥ 1, soit fn : [0, 1] → R donnée par fn (x) = nx si x <
fn converge simplement mais pas uniformément sur [0, 1].
1
n
et f (x) = 1 si x ≥ 1n . Montrer que
Exercice 4. Soient E, F deux espaces métriques et f , g : E → F deux applications continues.
a) Montrer que ∆ = {x ∈ E : f (x) = g(x)} est un fermé de E.
b) Soit A ∈ P (E). Montrer que si A est dense dans E et si f|A = g|A alors f = g.
c) Montrer que Γ f := {(x, f (x)) : x ∈ E} est fermé dans E × F.
d) Montrer que cette implication n’est pas vraie : Γ f fermé =⇒ f continue. Indication : on pourra considérer
f : R → R donnée par : f (0) = 0 et f (x) = 1x pour x 6= 0.
Exercice 5. Soit (X, T ) un espace topologique. Montrer l’équivalence entre les propositions suivantes :
a) Tout singleton est un fermé de X.
b) Pour tout couple de points de X, il existe un voisinage de l’un qui ne contient pas l’autre.
c) Pour tout point x ∈ E, {x} est l’intersection de tous les voisinages de x.
d) En déduire que dans un espace topologique séparé tout singleton est un fermé et peut s’écrire comme
l’intersection de tous ses voisinages.
Exercice 6. Soit f une application continue d’un espace topologique (X, T ) dans un espace topologique (Y, T 0 ).
Montrer que le graphe Γ = {(x, f (x)), x ∈ X} est homéomorphe à X.
Exercice 7. Soit (Xn , dn )n∈N une famille dénombrable d’espaces métriques. Montrer que la topologie produit sur
d (x ,y )
Πn∈N Xn est métrisable (on étudiera la quantité d(x, y) = ∑n∈N 2−n 1+dn n (xn n ,yn n ) .)
Exercice 8. Soit (X, T ) un espace topologique. On munit X × X de la topologie produit. Montrer que (X, T ) est
séparé si et seulement si la diagonale ∆ = {(x, x), x ∈ X} est un fermé de X × X.