Fiche TD 4

Licence de Mathématiques
Topologie
Année 2010-2011
Fiche TD 4
Exercice 1. Soit X= (N×N)∪{α}avec α/∈N×N. Soit V:X→P(P(X)) définit comme suit. - Si x∈N×N
alors V(x) = {A⊂X;x∈A}.
- Pour A⊂X,A∈V(α)si et s. si α∈Aet il existe N∈Ntel que pour tout n≥N,Acontient tous les éléments de
{n}×Nsauf un nombre fini.
Remarque : on cherche à définir les voisinages d’une future topologie.
On définit alors τ⊂P(X):A⊂Xappartient à τsi et s. si pour tout x∈A,A∈V(x).
Remarque : on cherche à définir les ouverts d’une topologie comme les parties de X qui sont voisinages de chacun
de leurs points.
a) Montrer que (X,τ)est un espace topologique séparé.
b) Soit (un)la suite de Xainsi définie : u0= (0,0),u1= (1,0),u2= (0,1),u3= (2,0),u4= (1,1),u5= (0,2),
u6= (3,0), etc. (On “remonte” ainsi toutes les “diagonales” de N×N.)
Soit S={un;n∈N}. Montrer que α∈Smais qu’aucune suite de Sne converge vers α.
Exercice 2. Ici, Rest muni de la métrique usuelle.
a) Montrer que (R→R,x7→ x2)n’est pas uniformément continue.
b) Montrer que (R+→R,x7→ √x)est uniformément continue.
c) Soit f∈C1(R,R)telle que f0est bornée sur R. Montrer que fest uniformément continue.
Exercice 3. Pour tout n≥1, soit fn:[0,1]→Rdonnée par fn(x) = nx si x<1
net f(x) = 1 si x≥1 n. Montrer que
fnconverge simplement mais pas uniformément sur [0,1].
Exercice 4. Soient E,Fdeux espaces métriques et f,g:E→Fdeux applications continues.
a) Montrer que ∆={x∈E:f(x) = g(x)}est un fermé de E.
b) Soit A∈P(E). Montrer que si Aest dense dans Eet si f|A=g|Aalors f=g.
c) Montrer que Γf:={(x,f(x)) :x∈E}est fermé dans E×F.
d) Montrer que cette implication n’est pas vraie : Γffermé =⇒fcontinue. Indication : on pourra considérer
f:R→Rdonnée par : f(0) = 0 et f(x) = 1
xpour x6=0.
Exercice 5. Soit (X,T)un espace topologique. Montrer l’équivalence entre les propositions suivantes :
a) Tout singleton est un fermé de X.
b) Pour tout couple de points de X, il existe un voisinage de l’un qui ne contient pas l’autre.
c) Pour tout point x∈E,{x}est l’intersection de tous les voisinages de x.
d) En déduire que dans un espace topologique séparé tout singleton est un fermé et peut s’écrire comme
l’intersection de tous ses voisinages.
Exercice 6. Soit fune application continue d’un espace topologique (X,T)dans un espace topologique (Y,T0).
Montrer que le graphe Γ={(x,f(x)),x∈X}est homéomorphe à X.
Exercice 7. Soit (Xn,dn)n∈Nune famille dénombrable d’espaces métriques. Montrer que la topologie produit sur
Πn∈NXnest métrisable (on étudiera la quantité d(x,y) = ∑n∈N2−ndn(xn,yn)
1+dn(xn,yn).)
Exercice 8. Soit (X,T)un espace topologique. On munit X×Xde la topologie produit. Montrer que (X,T)est
séparé si et seulement si la diagonale ∆={(x,x),x∈X}est un fermé de X×X.