9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles, arcs paramétrés

9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles,
arcs paramétrés
Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I (non trivial, c’est-à-dire de
longueur strictement positive) de R et à valeurs dans un R-espace vectoriel E de dimension finie n
(n entier, n ≥ 2). On rappelle que les notions de limite, de continuité, de négligeabilité pour les
fonctions à valeurs dans E sont indépendantes du choix de la norme dans E.
I - Vecteur dérivé en un point, fonctions de classe C 1
1) Définitions
Définition : soit a un point de I, on dit que f est dérivable en a si et seulement si la fonction
1
h → · f (a + h) − f (a)
h
définie sur (−a + I) \ {0}, à valeurs dans E, admet une limite finie en 0.
Cette limite est alors appelée vecteur dérivé de f en a et est notée f ′ (a).
df
(a).
dt
Théorème et définition : on dit que f admet un développement limité à l’ordre 1 en a si et seulement
s’il existe un vecteur v de E tel que :
Notations : f ′ (a) est aussi noté Df (a) ou
f (a + h) = f (a) + h.v + o (h) .
h→0
Si un tel développement existe, il est unique.
Théorème : f est dérivable en a si et seulement si elle admet un développement limité à l’ordre 1 en
a, auquel cas ledit développement s’écrit :
f (a + h) = f (a) + h.f ′ (a) + o (h) .
h→0
Corollaire : toute fonction dérivable en a est continue en a (la réciproque est fausse).
Définition : soit a un point de I tel que Ia′ = I ∩ [a, +∞[ (resp. Ia′′ = I ∩ ]−∞, a]) ne soit pas réduit
au point a.
On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en a si et seulement si la restriction
de f à Ia′ (resp. à Ia′′ ) est dérivable en a.
S’il existe, un tel vecteur dérivé s’appelle vecteur dérivé à droite (resp. à gauche) de f en
a et est notée fd′ (a) (resp. fg′ (a)).
Définition : soit J un intervalle inclus dans I.
On dit que f est dérivable sur J si, et seulement si, la restriction de f à J est dérivable
en tout point de J.
Dans ce cas, f ′ : J → E, t → f ′ (t) est appelée application dérivée de f sur J.
df
.
dt
Définition : on dit que f est de classe C 1 sur I si et seulement si f est dérivable sur I et la fonction
dérivée f ′ est continue sur I.
L’application f ′ est aussi notée Df ou
On désigne par C 1 (I, E) l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur I à valeurs dans E.
2) Caractérisation à l’aide des composantes
Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E, f : I → E et (f1 , . . . , fn ) les fonctions coordonnées de f dans B,
n
∀x ∈ I
f (x) =
fk (x) .ek .
k=1
9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles,arcs paramétrés
Page 2
Théorème : soit a ∈ I. f est dérivable en a si et seulement si toutes les composantes fk de f dans la
base B sont dérivables nen a.
Dans ce cas, f ′ (a) =
fk′ (a) .ek (autrement dit, les applications coordonnées de f ′ sont
k=1
les dérivées des applications coordonnées de f ).
Dém. provient du résultat analogue sur les limites.
Conséquence : cas d’une fonction f à valeurs complexes
f est dérivable en a ⇔ Re f et Imf sont dérivables en a
⇔ f est dérivable en a.
Dans ce cas, D f = Df , Df = D (Re f) + i.D (Imf).
Exemple : f : I → Mn,p (R) , t → (ai j (t)) est dérivable sur I si et seulement si toutes les fonctions
ai j sont dérivables sur I. Dans ce cas : ∀t ∈ I
f ′ (t) = a′i j (t) .
3) Opérations sur les fonctions dérivables
Théorème : on désigne par D (I, E) l’ensemble des fonctions dérivables sur I à valeurs dans E.
1) Soit (f, g) ∈ (D (I, E))2 et λ ∈ R. Les fonctions f + g et λ f sont dérivables sur I et :
(f + g)′ = f ′ + g′ ,
(λ .f )′ = λ. f ′ .
2) D (I, E) est un R-espace vectoriel et la dérivation est linéaire de D (I, E) dans E I .
C 1 (I, E) est un R-espace vectoriel.
3) Soit J un intervalle de R. Si ϕ ∈ D (J, R), f ∈ D (I, E) et si ϕ (J) ⊂ I, alors
f ◦ ϕ est dérivable sur J
et
(f ◦ ϕ)′ = ϕ′ . f ′ ◦ ϕ .
4) Si ϕ ∈ C 1 (J, R) , f ∈ C 1 (I, E) et si ϕ (J) ⊂ I, alors f ◦ ϕ ∈ C 1 (J, E).
Théorème : soit L une application linéaire de E dans un R-espace vectoriel de dimension finie F .
Si f ∈ D (I, E), alors L ◦ f est dérivable sur I et (L ◦ f)′ = L ◦ f ′ .
Si, de plus, f ∈ C 1 (I, E), alors L ◦ f est de classe C 1 sur I.
Théorème : soient E, F, G trois R-espaces vectoriels de dimension finie, B une application bilinéaire
de F × G dans E, f ∈ D (I, F ) et g ∈ D (I, G).
L’application h : t → B (f (t) , g (t)) de I dans E est dérivable sur I et
∀t ∈ I
h′ (t) = B f ′ (t) , g (t) + B f (t) , g ′ (t) .
Applications :
1) Si E est un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire et si f et g sont deux éléments de D (I, E),
alors les applications (f |g) et f 22 sont dérivables sur I avec
(f|g)′ = f ′ |g + f |g′ et
( .
2
f
2
2
′
= 2 f|f ′
étant la norme associée au produit scalaire).
2) Si E est un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, f ∈ D (I, E) et ∀t ∈ I, f (t) 2 = 1, alors
pour tout élément t de I, les vecteurs f (t) et f ′ (t) sont orthogonaux.
En effet, l’application :t −→ f (t) 22 est constante (égale à 1) sur I, et sa dérivée est nulle sur I.
3) Si f ∈ D (I, E) et ϕ ∈ D (I, R), alors ϕ.f ∈ D (I, E) et (ϕ.f)′ = ϕ′ .f + ϕ.f ′ .
1
1
·f
Si, de plus, ϕ ne s’annule pas sur I, alors · f est dérivable sur I et
ϕ
ϕ
(L’application : R×E → E, (λ, x) → λ.x est bilinéaire).
′
=
1
· (ϕ. f ′ − ϕ′ . f).
ϕ2
9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles,arcs paramétrés
Page 3
4) Si A et B sont deux éléments de D (I, Mn (R)), alors AB ∈ D (I, Mn (R)) et (AB)′ = A′ B + AB ′ .
(L’application : (A, B) → AB est bilinéaire sur Mn (R)).
5) Le résultat se généralise aux applications multilinéaires, notamment au déterminant d’une famille
de n vecteurs dans une base : si B est une base de E et si les fk , 1 ≤ k ≤ n sont n applications
dérivables de I dans E, alors
d
detB f1 (t) , . . . , fn (t) =
dt
n
detB f1 (t) , . . . , fk−1 (t) , fk′ (t) , fk+1 (t) , . . . , fn (t) .
k=1
4) Inégalité des accroissements finis (hors programme mais classique)
Soient · une norme sur E, f continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et M ≥ 0 tel que, pour tout point
t de ]a, b[, l’on ait f ′ (t) ≤ M, alors
f (b) − f (a) ≤ M. |b − a|
Dém. On peut supposer a < b. Soit ε > 0, g : t → f (t) − f (a) − (M + ε) t et u fixé dans ]a, b[.
La fonction g est continue sur le segment [u, b], elle admet donc un minimum atteint en un point c de
[u, b]. Montrons par l’absurde que c = b : supposons un instant c < b, alors f est dérivable en c et, par
définition de f ′ (c) et par continuité de la norme, je dispose de t ∈ ]c, b[ (suffisamment proche de c) tel
que
1
· f (t) − f (c) − ε < f ′ (c) ≤ M
t−c
d’où
f (t) − f (c) < (M + ε) (t − c)
mézalor par l’inégalité triangulaire
g (t) ≤ f (t) − f (c) + f (c) − f (a) − (M + ε) t < g (c)
ce qui contredit la définition de c. Donc c = b et en particulier g (b) ≤ g (u), cela pour tout u de ]a, b[,
donc par continuité de g en a
g (b) ≤ g (a)
c’est-à-dire
f (b) − f (a) ≤ (M + ε) . (b − a)
cela pour tout ε > 0, d’où le résultat en faisant tendre ε vers 0.
Applications :
• Si f est continue sur I, de classe C 1 sur ˚
I, f est k-lipschitzienne sur I si et seulement si f ′ ≤ k ;
• Si f est continue sur I, de classe C 1 sur ˚
I, f est constante sur I si et seulement si f ′ est nulle sur ˚
I.
Attention ! Les résultats de la forme “il existe c ∈ ]a, b[. . . ” (théorème de Rolle, théorème des
accroissements finis,. . . ) ne subsistent pas dans le cas des fonctions à valeurs vectorielles. Par exemple, f : t → t − t2 , t2 − t3 est dérivable de [0, 1] dans R2 , vérifie
f (0) = f (1) = (0, 0) et pourtant f ′ ne s’annule pas. . .
II - Fonctions de classe C k
1) Dérivées successives
Définition : on définit par récurrence les dérivées successives de f : f (0) = f et, pour k ∈ N∗ , on dit
′
que f est k fois dérivable si f (k−1) est dérivable sur I et on note f (k) = f (k−1) .
On désigne par Dk (I, E) l’ensemble des fonctions k fois dérivables sur I.
Notations : f (k) = Dk (f ) =
dk f
.
dxk
Définition : a) Soit k ∈ N ; on dit que f est de classe C k sur I si et seulement si f est k fois dérivable
sur I et f (k) continue sur I.
b) f est dite de classe C ∞ si et seulement si elle est de classe C k pour tout k de N,
autrement dit indéfiniment dérivable sur I.
9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles,arcs paramétrés
Page 4
Notations : C 0 (I, E) : ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans E.
C k (I, E) : ensemble des fonctions de classe C k sur I à valeurs dans E pour k ∈ N∗ .
C ∞ (I, E) : ensemble des fonctions de classe C ∞ sur I à valeurs dans E.
2) Opérations algébriques — Structures
Théorème : soit k ∈ N, f et g deux fonctions de I dans E et λ ∈ R.
si f et g sont k fois dérivables sur I, alors λ. f + g est k fois dérivable sur I et :
(λ .f + g)(k) = λ .f (k) + g(k) .
C k (I, E) et C ∞ (I, E) sont des sous-espaces vectoriels de C 0 (I, E).
Théorème : formule de Leibniz
Soit k ∈ N∗ , f : I → E et ϕ : I → R.
Si f et ϕ sont k fois dérivables sur I, alors ϕ .f est k fois dérivables sur I et
k
(k)
(ϕ. f)
k
j
=
ϕ(j) . f (k−j) .
j=0
Théorème : pour tout k ∈ N ∪ {+∞},
C k (I, R)
est une R-algèbre commutative.
Théorème : composée de fonctions de classe C k
Soit k ∈ N ∪ {+∞} et J un intervalle de R.
Si ϕ ∈ C k (J, R), f ∈ C k (I, E) et ϕ (J) ⊂ I, alors f ◦ ϕ ∈ C k (J, E).
3) Formule de Taylor
Soient f : I → E, k fois dérivable sur I, et t ∈ I ; la formule de Taylor en t pour les fonctions de R
dans R fournit des développements limités de toutes les applications coordonnées de f dans une base
de E, ce qui permet d’écrire
k
hj (j)
f (t + h) =
f (t) + o hk .
h→0
j!
j=0
III - Arcs paramétrés
1) Notion d’arc paramétré
On appelle arc paramétré de classe C k tout couple Γ = (I, F ), où I est un intervalle non trivial de R et
F une application de classe C k de I dans E, R-espace vectoriel de dimension 2 ou 3.
On appelle point de l’arc Γ = (I, F ) tout couple (t, M) où t ∈ I et M = F (t) (dit point mobile). On
parle aussi du point de paramètre t. On peut parler du point M ou du point F (t), mais attention aux
ambiguïtés en cas de point multiple (lorsque le point M est atteint pour plusieurs valeurs de t, si F
n’est pas injective. . . )
Le support de l’arc est la courbe C = {F (t) , t ∈ I} (la trajectoire de F (t)).
Le point (t, M ) est dit point régulier de l’arc si et seulement si F ′ (t) = 0, point birégulier de l’arc si et
seulement si la famille (F ′ (t) , F ′′ (t)) est libre.
L’arc est dit régulier (resp. birégulier) si et seulement si tous ses points le sont.
Un point où F ′ (t) = 0 est dit point singulier, ou encore point stationnaire.
2) Demi-tangentes — Tangentes
Pour t ∈ I, on suppose l’existence de l’entier fondamental p = min n ∈ N∗ / F (n) (t) = 0 .
hp
La formule de Taylor à l’ordre p appliquée à F en t donne : F (t + h) − F (t) =
· F (p) (t) + o (1) .
h→0 p!
Or le vecteur F (t + h) − F (t) dirige la demi-droite F (t) F (t + h) : pour t fixé et h tendant vers 0+
(resp. 0− ), cette demi-droite a donc comme position limite la demi-droite d’origine F (t) dirigée par le
vecteur F (p) (t) (demi-tangente). Si la limite est identique pour h tendant vers 0 de part et d’autre, on
parle de la tangente à Γ en M = F (t).
En pratique, ce vecteur directeur de la tangente peut s’obtenir par calcul des dérivées successives de F ,
ou encore en utilisant l’unicité des développements limités.
9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles,arcs paramétrés
Page 5
3) Paramétrages admissibles
Soit Γ = (I, F ) un arc paramétré de classe C k (k ≥ 1).
On dit que ϕ est un changement de paramètre admissible sur Γ si et seulement si ϕ est un
C k -difféomorphisme d’un intervalle J de R dans I (c’est-à-dire que ϕ est une bijection de classe C k de
J dans I dont la dérivée ne s’annule pas ; ϕ−1 est alors une bijection de classe C k de I dans J).
Dans ce cas, on dit que l’arc paramétré (J, G), où G = F ◦ ϕ est un paramétrage admissible de Γ.
Les deux arcs ont le même support, c’est la loi horaire de parcours de la trajectoire qui change.
(J, G) est dit de même orientation que Γ si et seulement si ϕ est strictement croissante (on dit parfois
que l’arc (J, G) est parcouru “dans le sens des t croissants”).
4) Caractère géométrique de certaines notions
Soit (J, G) un paramétrage admissible de Γ = (I, F ), avec G = F ◦ ϕ.
On vérifie facilement par récurrence que, pour n ∈ Nk , t ∈ I et u ∈ J,
t = ϕ (u) ⇒ Vect F ′ (t) , F ′′ (t) , . . . , F (n) (t) = Vect G′ (u) , G′′ (u) , . . . , G(n) (u) .
À tout point (t, M) de Γ, on associe, s’ils existent, les entiers fondamentaux p, q définis par
p = min n ∈ N∗ / F (n) (t) = 0
et q = min n > p /
F (p) (t) , F (n) (t)
libre .
La droite M + Vect F (p) (t) est la tangente en (t, M ) à Γ ; si t = ϕ (u), M = F (t) = G (u), p est
aussi égal à min n ∈ N∗ / G(n) (u) = 0 et les droites M + Vect F (p) (t) , M + Vect G(p) (u) sont
confondues : la notion de tangente est indépendante du paramétrage admissible choisi.
De même, dans le cas des courbes planes, pour la classification des points selon les parités de p, q :
• si p est impair, q pair : point ordinaire ;
• si p est impair, q impair : point d’inflexion ;
• si p est pair, q impair : point de rebroussement de première espèce ;
• si p est pair, q pair : point de rebroussement de seconde espèce.
De même, bien entendu, pour les notions de point régulier (p = 1), birégulier (p = 1 et q = 2).
IV - Courbes planes en coordonnées cartésiennes
Soit Γ = (I, F ) un arc paramétré de classe C k , F (t) étant caractérisé, pour t ∈ I, par ses coordonnées
x (t) , y (t) dans un repère cartésien O; i, j de E.
1) Utilisation de m (t) =
y ′ (t)
x′ (t)
En tout point régulier (p = 1), F ′ (t)
x′ (t)
dirige la tangente et donc m (t) est le coefficient directeur
y′ (t)
de ladite tangente.
En un point stationnaire (p > 1), la formule de Taylor donne
x′ (t + h) =
h→0
hp−1
· x(p) (t) + o (1)
(p − 1)!
y (p) (t)
et y ′ (t + h) =
h→0
hp−1
· y (p) (t) + o (1) .
(p − 1)!
(±∞ si x(p) (t) = 0, car dans ce cas y (p) (t) = 0).
x(p) (t)
Cette limite est encore le coefficient directeur de la tangente au point stationnaire M = F (t). Cette
remarque peut rendre service lorsque le quotient m (t) se simplifie.
Remarquons enfin que, lorsque x′ (t) = 0, m′ (t) est du signe de [F ′ (t) , F ′′ (t)] = x′ (t) y ′′ (t)−x′′ (t) y ′ (t) :
son annulation est une condition nécessaire et suffisante pour que F (t) ne soit pas birégulier. C’est en
particulier une condition nécessaire pour que F (t) soit un point d’inflexion.
Par conséquent, m (t + h) −→
h→0
9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles,arcs paramétrés
Page 6
2) Branches infinies
Soit t0 ∈ R, adhérent à I.
a) Asymptote parallèle à l’un des axes
Si lim x (t) = a et lim y (t) = ±∞, Γ admet l’asymptote d’équation x = a (position ← sgn (x (t) − a)).
t→t0
t→t0
Si lim y (t) = b et lim x (t) = ±∞, Γ admet l’asymptote d’équation y = b (position ← sgn (y (t) − b)).
t→t0
t→t0
b) Recherche d’une asymptote “oblique”
Attention ! L’étude suivante n’a lieu d’être que si x (t) −→ ±∞ et y (t) −→ ±∞ !
t→t0
t→t0
y (t)
• Si lim
= ±∞, Γ admet une branche parabolique de direction asymptotique Oy.
t→t0 x (t)
• Si lim
t→t0
y (t)
= 0, Γ admet une branche parabolique de direction asymptotique Ox.
x (t)
y (t)
= a ∈ R∗ , Γ admet une branche infinie avec direction asymptotique d’équation y = ax.
x (t)
∗ Si en outre lim y (t) − a · x (t) = ±∞, Γ admet une branche parabolique de direction
• Si lim
t→t0
t→t0
asymptotique d’équation y = ax.
∗ Si en outre lim y (t)−a·x (t) = b ∈ R, Γ admet l’asymptote d’équation y = ax+b. La position
t→t0
de la courbe par rapport à cette asymptote s’obtient par l’étude du signe de y (t) − ax (t) − b,
éventuellement par l’entremise d’un développement limité.
3) Points multiples
Pour améliorer la qualité du tracé, il est souhaitable de préciser – s’il en existe – les points doubles :
x (t) = x (t′ )
chercher t et t′ distincts dans I tels que
.
y (t) = y (t′ )
4) Plan d’étude globale
• Penser à restreindre si possible l’intervalle d’étude (arguments de périodicité, parité, symétrie,. . . ).
Commencer par réduire l’amplitude de l’intervalle, avant de le “couper en deux” après avoir fixé
son centre.
• Étudier les variations des deux fonctions x et y.
• Préciser la nature des points stationnaires, les tangentes en ces points et la position de la courbe
par rapport à ces tangentes.
• Préciser les branches infinies et la position de la courbe par rapport aux asymptotes éventuelles.
• Ébaucher le tracé de la courbe.
• Options : points doubles, points d’inflexion.
Exemples:
a) Astroïde :
c) Cardioïde :


 x (t) = 2t + 1
x (t) = a cos3 t
t2
;
b)
1
y (t) = a sin3 t

2
 y (t) = t +
t2
x (t) = a (2 cos t + cos 2t)
y (t) = a (2 sin t + sin 2t)
9. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles,arcs paramétrés
Page 7
V - Longueur d’un arc de classe C 1
1) Définition
Soit Γ = ([a, b] , F ) un arc paramétré de classe C 1 (où a < b).
E est muni d’une norme · .
La longueur de Γ (relativement à · ) est
b
ℓ (Γ) =
F ′ (t) dt.
a
2) Exemples avec la norme euclidienne canonique
• dans le plan : ellipse : t → (a cos t, b sin t) ; cardioïde : t → (2 cos t + cos 2t, 2 sin t + sin 2t)
p
• dans l’espace : hélice circulaire : t → r cos t, r sin t,
·t
2π
VI - Enveloppe d’une famille de droites (complément hors programme)
Étant donnée une famille de droites (Dt )t∈I d’un plan, on cherche une courbe tangente à chacune des
Dt , t ∈ I. Si chaque Dt est donnée par une équation cartésienne dans un repère O; i, j
Dt / u (t) x + v (t) y + w (t) = 0,
on cherche un arc Γ paramétré par F : t → (x (t) , y (t)), de classe C 1 sur I, telle que, pour tout t dans
I, Dt soit la tangente à Γ en F (t) ; on en déduit la condition nécessaire :
∀t ∈ I
u (t) x (t) + v (t) y (t) + w (t) = 0 (1)
.
u (t) x′ (t) + v (t) y′ (t) = 0
(2)
(L’égalité (1) traduit le fait que F (t) est un point de Dt , l’égalité (2) le fait que le vecteur F ′ (t) appartient à la direction de Dt : si F ′ (t) n’est pas le vecteur nul, ces deux égalités montrent réciproquement
que Dt est la tangente à Γ au point F (t).)
Dans le cas particulier où les fonctions u, v, w sont de classe C 1 sur I, on obtient, en dérivant (1) et en
retranchant (2), la nouvelle condition nécessaire :
∀t ∈ I
u (t) x (t) + v (t) y (t) + w (t) = 0
(Et )
.
u′ (t) x (t) + v′ (t) y (t) + w′ (t) = 0 (Et′ )
Si en outre, uv′ − u′ v ne s’annule pas sur I, on en déduit (x (t) , y (t)) par résolution d’un système de
Cramer. Dans ce cas favorable, les fonctions x, y ainsi définies sont de classe C 1 (cf. les formules de
Cramer) et en tout point régulier de l’arc paramétré par F : t → (x (t) , y (t)), Dt est la tangente à Γ
au point F (t) ! (On obtient (2) en dérivant (Et ) et en retranchant (Et′ ) . . . )
Exemple : enveloppe de la famille des droites (AB) où A sur l’axe Ox et B sur l’axe Oy vérifient AB = a
constante positive donnée (cf. une échelle glissant le long d’un mur).