Théorèmes sur les formules de dérivation

Mathématiques 3N
Ch3: Dérivation
§7: Démontrer les formules
Théorèmes sur les formules de dérivation
pour lesquels il faut savoir énoncer le théorème en identifiant clairement hypothèses et
conclusions, connaître la démonstration et savoir justifier ses étapes
1. Théorème (dérivée du produit d'une fonction par un nombre réel)
Soit f : I ℝ , ∈ℝ et x ∈I .
Si f est dérivable en x , alors la fonction ⋅ f est aussi dérivable en x et on a:
⋅f ’  x =⋅ f '  x 
Pour simplifier l'écriture, on note plus simplement ainsi : ⋅f  ’=⋅ f '
2. Théorème (dérivée de la somme de deux fonctions dérivables)
Soit f : I ℝ , g : I ℝ et x ∈I .
Si f et g sont dérivables en x , alors la fonction f g est aussi dérivable en x et
on a:
 f g ’  x= f '  x g ’  x
Pour simplifier l'écriture, on note plus simplement ainsi :  f g ’ = f ' g ’
3. Théorème (dérivée de la différence de deux fonctions dérivables)
Soit f : I ℝ , g : I ℝ et x ∈I .
Si f et g sont dérivables en x , alors la fonction f −g est aussi dérivable en x et
on a:
 f −g ’  x= f '  x −g ’ x 
Pour simplifier l'écriture, on note plus simplement ainsi :  f −g ’ = f ' −g ’
4. Théorème (dérivée du produit de deux fonctions dérivables)
Soit f : I ℝ , g : I ℝ et x ∈I .
Si f et g sont dérivables en x , alors la fonction f ⋅g est aussi dérivable en x et on
a:
 f ⋅g ’  x= f '  x ⋅g  x − f  x ⋅g ’  x 
Pour simplifier l'écriture, on note plus simplement ainsi :  f ⋅g ’= f '⋅g  f⋅g ’
.
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Mathématiques 3N
Ch3: Dérivation
§7: Démontrer les formules
5. Théorème (dérivée de l'inverse d'une fonction dérivable)
Soit f : I ℝ et x ∈ I .
Si f est dérivable en x et si il existe un voisinage V de x tel que f  x ≠0 pour tout
'
1
1
f ' x
x ∈V , alors la fonction
 x =− 2
est aussi dérivable en x et on a:
f
f
f x
 
Pour simplifier l'écriture, on note plus simplement ainsi :
 
'
1
f'
=− 2
f
f
6. Théorème (dérivée du quotient de deux fonctions dérivables)
Soit f : I ℝ , g : I ℝ et x ∈ I .
Si f et g sont dérivables en x et si il existe un voisinage V de x tel que g  x≠0
f
pour tout x ∈V , alors la fonction
est aussi dérivable en x et on a:
g
'
f
f '  x⋅g  x− f  x ⋅g '  x 
 x=
g
g 2  x

'
Pour simplifier l'écriture, on note plus simplement ainsi :
 
f
f '⋅g − f ⋅g '
=
g
g2
7. Théorème (dérivée de x puissance n)
Soit f :ℝ ℝ la fonction définie par f  x =x n et x ∈ I .
a) Si n∈ℕ , alors  x n ' =nx n−1
b) Si n∈ℤ , alors  x n ' =nx n−1
1
c) Si n est de la forme n= , alors  x n ' =nx n−1
m
d) Si n∈ℚ , alors  x n ' =nx n−1
2
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