Une fonction non continue qui admet des primitives Étude d`une

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60 Divers Net/3241up02 Primitive d'une fonction non continue.doc/1012 ©pa2010
Une fonction non continue qui admet des primitives
Étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur  par : f(x) = x2sin(
x
1) si x ≠ 0, et f(0) = 0.
Pour tout x ≠ 0, −1 ≤ sin(
x
1) ≤ 1 ⇒ −x2 ≤ f(x) ≤ x2, donc par le théorème des gendarmes,
0
lim
→xf(x) = 0, donc f est continue en 0.
Sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, x  sin(
x
1) est dérivable en tant que composée de deux fonctions
dérivables, et puisque x  x2 est dérivable, f est dérivable en tant que produit de deux
fonctions dérivables.
Pour h > 0,
h
fhf )0()0(
−
+
= hsin(
h
1) donc 0 ≤ hsin(
h
1) ≤ h et 0
lim
→h
h
fhf )0()0(
−
+
= 0,
limite finie, donc f est dérivable à droite en 0. De même, elle est dérivable à gauche en 0 et
f ’(0) = 0. Finalement, f est dérivable sur .
Sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, f ’(x) = 2xsin(
x
1) + x2 × (−2
1
x
) × cos(
x
1) = 2xsin(
x
1) − cos(
x
1).
Or cos(
x
1) n’a pas de limite en 0, donc f ’(x) non plus, et donc f ’ n’est pas continue en 0.
En résumé, f est une fonction dérivable sur  dont la dérivée n’est pas continue.

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Une fonction non continue qui admet des primitives
Soit maintenant g la dérivée de la fonction f ci-dessus, c'est-à-dire la fonction définie sur 
par : g(x) = 2xsin(
x
1) − cos(
x
1) si x ≠ 0, et g(0) = 0.
Alors g n’est pas continue sur  car elle n’est pas continue en 0. Pourtant, puisqu’elle est la
dérivée d’une fonction f, elle admet des primitives sur .
Celles-ci sont de la forme G(x) = x2sin(
x
1) + k, k ∈ .