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Chapitre C4
APPLICATIONS DE LA DERIVATION
I)
Etude d’une fonction :
1)
Théorème fondamental :
Théorème : Soit une fonction f dérivable sur I.
- Si f ’ est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f ’ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f ’ est nulle sur I,
alors f est constante sur I.
Remarques :
 Ces résultats sont logiques, car f ’(x) est la pente de la tangente à Cf en x.
 Si on connaît f ’, étudier son signe permet de connaître les variations de f.
Exemples : (1) f : x 4 x  30 ; f est dérivable sur R et f '( x)  4  0 pour tout x réel.
Donc f est strictement croissante sur R.
(2) g : x 2 x3 ; g est dérivable sur R et g '( x)  2  3x 2  6 x 2  0 pour tout x réel.
Donc g est strictement décroissante sur R.
2)
Exemple d’étude :
Soit la fonction f : x
x2  7 x  6 .
f est définie sur R et est dérivable sur R.
On a :
On construit le tableau de variation de la fonction f :
(a)
x
f ’ (x)
-∞
3,5
-
+∞
+∞
+
+∞
f (x)
– 6,25
f (3,5)  (3,5)  7  3,5  6  12, 25  24,5  6  6, 25
2
Tracé :
f '( x)  2 x  7
(b)
3x
.
x 4
g est définie sur R et est dérivable sur R.
u ( x)  3 x et v( x)  x2  4
On pose :
Soit la fonction rationnelle g : x
g '( x) 
2
u ' v  uv ' 3( x 2  4)  3x(2 x) 3x 2  12 3( x  2)( x  2)

 2

v2
( x 2  4)2
( x  4)2
( x 2  4)2
x -∞
x+2
x–2
–3
g’ (x)
-2
-
g (x)
+
+
3
4
+∞
2
+
+
3
4
12 3

16 4
On s’aide des tangentes faciles à tracer pour rendre la courbe plus précise (en – 2, 0 et 2).
g (0)  0 et g '(0) 
Tracé :
II)
Extrema locaux :
Définition : Soit une fonction f définie sur I.
On dit que f admet un maximum local en c si pour tout x d’un intervalle ]c - α ; c + α[ inclus
dans I, on a f(x) ≤ f(c).
(de même minimum local avec f(x) ≥ f(c) )
Maximum local
Minimum local
Propriété : Si une fonction f définie et dérivable sur I admet un extremum local en c, alors
f ’(c) = 0.
Remarques :
1) Graphiquement, cela correspond au fait que la tangente est nécessairement horizontale en
un extremum local.
2) Si l’on recherche le maximum M de f sur I = [a ; b] fermé, alors soit M est un maximum
local à déterminer avec f ’(x) = 0 ; soit il s’agit de f(a) ou de f(b).
III)
Equations du type f(x) = 0 :
Théorème : Soit f une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle [a ; b].
Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l’équation f(x) = 0 admet une solution unique
dans l’intervalle [a ; b].
Remarque : Il est essentiel d’avoir une fonction à la fois dérivable et strictement monotone.
Exemple : Donner un encadrement au millième près de la (ou des) solution(s) de l’équation
x3  6 x 2  9 x  3  0 .
Soit f : x
x3  6 x 2  9 x  3 ; f '( x)  3x 2  12 x  9  3( x 2  4 x  3)  3( x  1)( x  3)
x -∞
x+1
x+3
g’ (x)
-3
+
+∞
-1
+
-
+
+
+
3
g (x)
-1
f (5)  17 et f ( 3)  3 avec f strictement croissante sur [-5 ; -3], donc il existe une
solution α de f(x) = 0 sur [-5 ; -3].
f ( 1)  1 et f (0)  3 avec f strictement décroissante sur [-1 ; 0], donc il existe une
solution β de f(x) = 0 sur [-1 ; 0].
3,880    3,879 ; 1, 653    1, 652 et 0, 468    0, 467
On trouve :
Remarque : Pour résoudre toute équation du type f(x) = k, on peut transformer en f(x) – k = 0,
et étudier g(x) = f(x) – k.