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1S Chapitre C4 APPLICATIONS DE LA DERIVATION
I) Etude d’une fonction :
1) Théorème fondamental :
Théorème : Soit une fonction f dérivable sur I.
- Si f ’ est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f ’ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Remarques :
 Ces résultats sont logiques, car f ’(x) est la pente de la tangente à Cf en x.
 Si on connaît f ’, étudier son signe permet de connaître les variations de f.
Exemples : (1)
: 4 30f x x
; f est dérivable sur R et
'( ) 4 0fx
pour tout x réel.
Donc f est strictement croissante sur R.
(2)
3
:2g x x
; g est dérivable sur R et
22
'( ) 2 3 6 0g x x x     
pour tout x réel.
Donc g est strictement décroissante sur R.
2) Exemple d’étude :
(a) Soit la fonction
2
: 7 6f x x x
.
f est définie sur R et est dérivable sur R. On a :
'( ) 2 7f x x
On construit le tableau de variation de la fonction f :
x
-∞ 3,5
+∞
f ’ (x)
-
+
f (x)
+∞
– 6,25
+∞
2
(3,5) (3,5) 7 3,5 6 12,25 24,5 6 6,25f        
Tracé :

(b) Soit la fonction rationnelle
2
3
:4
x
gx x
.
g est définie sur R et est dérivable sur R.
On pose :
( ) 3u x x
et
2
( ) 4v x x
22
2 2 2 2 2 2 2
' ' 3( 4) 3 (2 ) 3 12 3( 2)( 2)
'( ) ( 4) ( 4) ( 4)
u v uv x x x x x x
gx v x x x
x
-∞
-2 2
+∞
x + 2
-
+
+
x – 2
-
-
+
– 3
-
-
-
g’ (x)
-
+
-
g (x)
3
4
3
4
(0) 0g
et
12 3
'(0) 16 4 g
On s’aide des tangentes faciles à tracer pour rendre la courbe plus précise (en – 2, 0 et 2).
Tracé :
II) Extrema locaux :
Définition : Soit une fonction f définie sur I.
On dit que f admet un maximum local en c si pour tout x d’un intervalle ]c - α ; c + α[ inclus
dans I, on a f(x) ≤ f(c).
(de même minimum local avec f(x) ≥ f(c) )

Maximum local Minimum local
Propriété : Si une fonction f définie et dérivable sur I admet un extremum local en c, alors
f ’(c) = 0.
Remarques :
1) Graphiquement, cela correspond au fait que la tangente est nécessairement horizontale en
un extremum local.
2) Si l’on recherche le maximum M de f sur I = [a ; b] fermé, alors soit M est un maximum
local à déterminer avec f ’(x) = 0 ; soit il s’agit de f(a) ou de f(b).
III) Equations du type f(x) = 0 :
Théorème : Soit f une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle [a ; b].
Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l’équation f(x) = 0 admet une solution unique
dans l’intervalle [a ; b].

Remarque : Il est essentiel d’avoir une fonction à la fois dérivable et strictement monotone.
Exemple : Donner un encadrement au millième près de la (ou des) solution(s) de l’équation
32
6 9 3 0x x x   
.
Soit
32
: 6 9 3f x x x x  
;
22
'( ) 3 12 9 3( 4 3) 3( 1)( 3)f x x x x x x x        
x
-∞
-3 -1
+∞
x + 1
-
-
+
x + 3
-
+
+
g’ (x)
+
-
+
g (x)
3
-1
( 5) 17f  
et
( 3) 3f
avec f strictement croissante sur [-5 ; -3], donc il existe une
solution α de f(x) = 0 sur [-5 ; -3].
( 1) 1f  
et
(0) 3f
avec f strictement décroissante sur [-1 ; 0], donc il existe une
solution β de f(x) = 0 sur [-1 ; 0].
On trouve :
3,880 3,879
;
1,653 1,652
et
0,468 0,467
Remarque : Pour résoudre toute équation du type f(x) = k, on peut transformer en f(x) – k = 0,
et étudier g(x) = f(x) – k.