nombres existe -but -qui

DS Mathématiques
Terminale S
18/09/2010
Durée : 2 heures
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.
Les questions précédées d’une étoile dans l’exercice 1 seront uniquement traités par les élèves de TS*.
Bon courage.
Exercice 1 : Cours et applications
1. Question de cours
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a  I .
a) Donner les définitions suivantes : « la fonction f est continue en a » et « la fonction f est dérivable
en a » .
b) Donner la propriété liant dérivabilité et continuité en a.
 Démontrer cette propriété.
c) Dans chacun des cas suivants, indiquer s’il existe une fonction f vérifiant simultanément des deux
propriétés. Si la réponse est « oui », donner un exemple ; dans le cas contraire, justifier à l’aide d’un
théorème de cours.




f est continue en a et f est dérivable en a.
f est continue en a et f n’est pas dérivable en a.
f n’est pas continue en a et f est dérivable en a.
f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a.
 Indiquez si les résultats suivants sont vrais ou faux. S’il est vrai, vous le démontrerez, s’il est
faux, vous donnerez un contre-exemple (une illustration graphique sera acceptée).
Pour toute fonction f définie sur [0 ;2], on a :
1. Si f est continue sur les intervalles [0 ;1] et [1 ;2], alors f est continue sur [0 ;2]
2. Si f est continue sur les intervalles [0 ;1[ et [1 ;2], alors f est continue sur [0 ;2]
Exercice 2 : Etude d’une fonction grâce à une fonction auxiliaire
Partie A : ROC
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b]. Démontrer que si f est continue et strictement croissante
sur cet intervalle, alors pour tout réel k compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏), il existe un unique réel 𝑐 ∈ [𝑎; 𝑏] tel que
𝑓(𝑐) = 𝑘.
Partie B : Etude d’une fonction
On considère les fonctions numériques f et g définies par :
1
1
f ( x)   x 2  x   et g( x)  2x3  x2  1
3
x
On nomme C la courbe représentative de la fonction 𝑓.
DS Mathématiques
Terminale S
18/09/2010
Durée : 2 heures
1. Calculer 𝑓 ′ (𝑥) pour 𝑥 appartenant à 𝐷𝑓 et montrez que pour tout x  0 , les nombres 𝑓′(𝑥) et g(x) ont
le même signe.
2. Etudier les limites de 𝑔 en +∞ et en −∞.
3. Etudier les variations de g sur et dresser son tableau de variations.
4. En déduire que l'équation g(x) = 0 admet dans une solution unique 𝛼, avec 0 < 𝛼 < 1. (On ne
cherchera pas à calculer 𝛼.
Donner un encadrement de 𝛼 d’amplitude 10−1 .
5. Déterminer le signe de g suivant les valeurs de x.
6. Etudier les limites de 𝑓 puis dresser le tableau des variations de la fonction f .
On désigne par I le point de (C) d'abscisse −1.
a) Déterminez une équation de la tangente (T) en I à (C) .
b) Etudier la position de (C) par rapport à (T).
Exercice 3 : Etude d’une fonction définie par morceaux
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3 𝑠𝑖 𝑥 ∈] − ∞; 1[
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par { 𝑓(1) = −2
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ∈]1; +∞[
1. 𝑓 est-elle continue en 1 ?
2. 𝑓 est-elle dérivable en 1 ?
Quelles conséquences graphiques concernant la courbe représentative de 𝑓 dans un repère orthonormé
peut-on tirer des résultats précédents ?
3. Montrez que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet au moins une solution sur [0; 10].
4. Etudiez la continuité de la fonction 𝑔 définie sur [−1; +∞[ par 𝑔(𝑥) =
√1+𝑥−1
{1 𝑥
2
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
𝑠𝑖 𝑥 = 0