nombres existe -but -qui

DS Mathématiques
Terminale S
Durée : 2 heures
18/09/2010
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.
Les questions précédées d’une étoile dans l’exercice 1 seront uniquement traités par les élèves de TS*.
Bon courage.
Exercice 1 : Cours et applications
1. Question de cours
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
aI
.
a) Donner les définitions suivantes : « la fonction f est continue en a » et « la fonction f est dérivable
en a » .
b) Donner la propriété liant dérivabilité et continuité en a.
 Démontrer cette propriété.
c) Dans chacun des cas suivants, indiquer s’il existe une fonction f vérifiant simultanément des deux
propriétés. Si la réponse est « oui », donner un exemple ; dans le cas contraire, justifier à l’aide d’un
théorème de cours.
 f est continue en a et f est dérivable en a.
 f est continue en a et f n’est pas dérivable en a.
 f n’est pas continue en a et f est dérivable en a.
 f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a.
 Indiquez si les résultats suivants sont vrais ou faux. S’il est vrai, vous le démontrerez, s’il est
faux, vous donnerez un contre-exemple (une illustration graphique sera acceptée).
Pour toute fonction f définie sur [0 ;2], on a :
1. Si f est continue sur les intervalles [0 ;1] et [1 ;2], alors f est continue sur [0 ;2]
2. Si f est continue sur les intervalles [0 ;1[ et [1 ;2], alors f est continue sur [0 ;2]
Exercice 2 : Etude d’une fonction grâce à une fonction auxiliaire
Partie A : ROC
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b]. Démontrer que si f est continue et strictement croissante
sur cet intervalle, alors pour tout réel k compris entre  et , il existe un unique réel  tel que
Partie B : Etude d’une fonction
On considère les fonctions numériques f et g définies par :
2
11
() 3 f x x x x
et
32
( ) 2 1g x x x  
On nomme C la courbe représentative de la fonction .

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1. Calculer ′ pour  appartenant à  et montrez que pour tout
0x
, les nombres  et g(x) ont
le même signe.
2. Etudier les limites de  en ∞ et en ∞.
3. Etudier les variations de g sur et dresser son tableau de variations.
4. En déduire que l'équation g(x) = 0 admet dans une solution unique , avec 0 <  < 1. (On ne
cherchera pas à calculer .
Donner un encadrement de  d’amplitude .
5. Déterminer le signe de g suivant les valeurs de x.
6. Etudier les limites de  puis dresser le tableau des variations de la fonction f .
On désigne par I le point de (C) d'abscisse −1.
a) Déterminez une équation de la tangente (T) en I à (C) .
b) Etudier la position de (C) par rapport à (T).
Exercice 3 : Etude d’une fonction définie par morceaux
Soit  la fonction définie sur  par ²∞
∞
1.  est-elle continue en 1 ?
2.  est-elle dérivable en 1 ?
Quelles conséquences graphiques concernant la courbe représentative de  dans un repère orthonormé
peut-on tirer des résultats précédents ?
3. Montrez que l’équation  admet au moins une solution sur .
4. Etudiez la continuité de la fonction  définie sur ∞ par 