8 applicationderivation
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8. APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. A. Fonction constante sur un intervalle : Théorème : Si f est dérivable sur un intervalle I et si la dérivée f ’est alors la fonction f est sur I , sur I. B. Fonction dérivable et monotone sur I : L’observation du coefficient directeur de la tangente à partir d’exemples, nous a permis de déduire les résultats suivants : Théorème 1 : Si f est dérivable sur un intervalle I et si la dérivée f ’est sur I , alors la fonction f est sur I. Théorème 2 : Si f est dérivable sur un intervalle I et si la dérivée f ’est sur I , alors la fonction f est sur I. Les propriétés réciproques sont admises. 2. Extremum local d’une fonction : Propriété ( admise ) : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un nombre réel de I. Si f ( x0 ) est un extremum local de f alors f ’(x0) = 0 Remarques : - au point d’abscisse x0 , la tangente à la courbe est « horizontale » - La réciproque de cette propriété est fausse. Propriété ( admise ) : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un nombre réel de I ( qui n’est pas une extrémité de I ) Si f ’ s’annule en x0 , alors f (x0 ) est 3. Exemple : On se propose d’étudier le sens de la fonction f définie sur [ –3 ; 2 ] par : f(x) = x 3 – 3x + 2 . Les variations de f sont présentées dans son tableau de variation : x Signe de f ’(x) Variation de f –3 –1 1 2
