Devoir n°5 - Nombre dérivé et Tangentes

Devoir n°5 - Nombre dérivé et Tangentes - 1S
16 décembre 2013 - 1h
Exercice 1 (4 points) : Voici la courbe représentative
d’une fonction
1. D’après le graphique, donner la valeur :
5 ,
4 ,
Solution :
5 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe
trouve graphiquement
5
4/3
4
0 car tangent horizontale
3
2
6
0,5
3
1,5
4
2
4
2 et
définie sur ℝ.
4 .
au point d’abscisse
5. On
2. Déterminer l’équation de la tangente à au point d’abscisse 4 et celle au point d’abscisse
2.
Solution :
De manière générale, on a l’équation de la tangente au point d’abscisse a qui s’écrit :
:
En
4
On lit sur le graphe 4
et
4
3
3
:
4
4
2
3
3
3
:
4
4
4
2
3
3
3
:
4
4
4
2
3
3
:
4
2
Source : http://cm.maths-lfb.fr
www.ma-i.fr
En
2 ; on trouve :
:
6
23
2
Exercice 2 (3 points) :
Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ et soit sa courbe représentative dans un repère
On sait que les points
2; 1 , " 0; 3 et 3; 1 appartiennent à .
On sait de plus que :
Dessiner une courbe
,
0
0 et
3
2
vérifiant toutes ces conditions.
2.
Exercice 3 (5 points) :
1. Soit la fonction # définie sur ℝ par #
3
2.
A l’aide du taux d’accroissement, montrer que # est dérivable en
Solution :
Avec $ % 0 ; on a :
# 1 $
# 1
&'
$
Or :
# 1 $
1 $
3
1 $
2
# 1 $
1
2 1 $ $
3 3$
2
# 1 $
1 2$ $
3$ 5
# 1 $
$
$ 4
Et # 1
1
3
Source : http://cm.maths-lfb.fr
1
2
1 et calculer # 1 .
4
www.ma-i.fr
On obtient :
$
&'
D’où # est dérivable en
$
ℎ
4−4
−ℎ + ℎ ℎ −ℎ + 1
=
= −ℎ + 1
ℎ
ℎ
lim &' = lim −ℎ + 1 = 1
'→,
=
'→,
= 1 et # 1 = 1
2. Soit la fonction ℎ définie sur ℝ \ {1} par ℎ
=
.
0–2
A l’aide du taux d’accroissement, montrer que h est dérivable en = 0 et calculer ℎ 0 .
Solution :
Pour éviter la confusion avec la fonction h, nous allons changer la variable h de calcul du
taux d’accroissement par 4.
Avec 4 ≠ 0 ; on a :
ℎ 0+4 −ℎ 0
&5 =
4
Or :
2
ℎ 0+4 =
4– 1
Et
ℎ 0 =
On obtient :
2
= −2
0– 1
2
2
2 4−1
+2
+
2
4 − 1 = 24
&5 = 4 – 1
=4– 1
=
4
4
4 4−1
4−1
2
lim &5 = lim
= −2
5→,
5→, 4 − 1
D’où ℎ est dérivable en
= 0 et # 0 = −2
Exercice 3 (8 points) : Pour chacune des fonctions suivantes, écrire son domaine de définition
et son domaine de dérivabilité, en justifiant, puis déterminer sa fonction dérivée. Simplifier les
expressions obtenues.
1. 2
= 4 −5 +3 −1
Solution :
= 4 −5 +3 −1
2
est
définie est dérivable sur ℝ comme somme de fonction dérivable sur ℝ. Donc, on a :
2
′2
=4×3 −5×2 +3
= 12 − 10 + 3
′2
Source : http://cm.maths-lfb.fr
www.ma-i.fr
2
2.
07
0
Solution :
2
07
0
est définie si et seulement si
% 0 et
≠ 0 donc 8 9 = ℝ\{0}
est définie et dérivable sur ℝ\{0} comme somme de fonctions dérivables sur ℝ\{0} ; donc
on a :
′
3.
=
=3×
0:
−
2
09
=
;
09
0
0:
−
:
=
; 09
07
0<2
0 =
Solution :
−4 + 1
=
3 −5
est définie si et seulement si 3 − 5 ≠ 0 et
≠ 5/3 donc 8 7 = ℝ\{5/3}
est définie et dérivable sur ℝ\{5/3} comme quotient de fonctions dérivables sur
ℝ\{5/3} ; donc on a :
−4 + 1 × 3 − 5 − −4 + 1 × 3 − 5 ′
′
=
3 −5
′
=
−12 + 20 + 12 − 3
3 −5
17
=
3 −5
′
=
′
4.
=4 −1+
−4 × 3 − 5 − −4 + 1 × 3
3 −5
2
0
Solution :
1
4−
est définie si et seulement si 4 −
=4 −1+
≠ 0 et
≠ 4 donc 8 : = ℝ\{4}
est définie et dérivable sur ℝ\{4} comme somme et quotient de fonctions dérivables sur
ℝ\{4} ; donc on a :
1 × 4− − 4−
×1
′
=4+
4−
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′
′
5.
=
=
09
0 × 4 − − −1 × 1
4−
1
= 4+
4−
4+
0<?
0 =
Solution :
−4 +8
2 −5
= est définie si et seulement si 2 − 5 ≠ 0 et
=
=
≠ 5/2 donc 8 A = ℝ\{5/2}.
est définie et dérivable sur ℝ\{5/2} comme quotient de fonctions dérivables sur
ℝ\{5/2} ; donc on a :
−4 +8 ′× 2 −5 −
−4 +8 × 2 −5 ′
′=
=
2 −5
2 −4 × 2 −5 −
−4 +8 ×2
′=
=
2 −5
4 − 10 − 8 + 20 − 2 + 8 − 16
′=
=
2 −5
2 − 10 + 4
′=
=
2 −5
=
6. B = √ 2 + 1
Solution :
B =√ 2 +1
B est définie si et seulement si
≥ 0 donc 8 E = ℝ< = [0; +∞[.
est définie sur [0; +∞[ et dérivable sur ] 0; +∞[comme produit de fonctions dérivables
sur ] 0; +∞[ ; donc on a :
B
′B
′B
B
B
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= I√ J 2 + 1 + √ 2 + 1 ′
1
=
× 2 +1 +√ ×2
2√
2 +1
2√
=
+ 2√ ×
2√
2√
2 +1+4
6 +1
=
=
2√
2√
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