Devoir n°5 - Nombre dérivé et Tangentes

Source : http://cm.maths-lfb.fr www.ma-i.fr
Devoir n°5 - Nombre dérivé et Tangentes - 1S
16 décembre 2013 - 1h
Exercice 1 (4 points) : Voici la courbe représentative  d’une fonction  définie sur . 
1. D’après le graphique, donner la valeur :   et .
Solution :
 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe  au point d’abscisse . On
trouve graphiquement 
  car tangent horizontale
2. Déterminer l’équation de la tangente à  au point d’abscisse  et celle au point d’abscisse
.
Solution :
De manière générale, on a l’équation de la tangente au point d’abscisse a qui s’écrit :
En   
On lit sur le graphe   et 

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En   ; on trouve :
Exercice 2 (3 points) :
Soit f une fonction définie et dérivable sur  et soit  sa courbe représentative dans un repère
On sait que les points !  "!  et !  appartiennent à  .
On sait de plus que :     et      .
Dessiner une courbe  vérifiant toutes ces conditions.
Exercice 3 (5 points) :
1. Soit la fonction # définie sur  par #        .
A l’aide du taux d’accroissement, montrer que # est dérivable en    et calculer # .
Solution :
Avec $ %  ; on a :
&
'
#  $ #
$
Or :
#  $   $      $ 
#  $       $  $     $  
#  $   $  $  $  
#  $ $  $  
Et # 

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On obtient :
&
'
$
 $    
$$
 $
$$$   $ $  
()*
'+,
&
'
 ()*
'+,
$    
D’où # est dérivable en    et #
2. Soit la fonction $ définie sur -./ par$ 
012
3
A l’aide du taux d’accroissement, montrer que h est dérivable en    et calculer $ 3
Solution :
Pour éviter la confusion avec la fonction h, nous allons changer la variable h de calcul du
taux d’accroissement par 4.
Avec 4 %  ; on a :
&
5
$  4 $
4
Or :
$  4
41 
Et
$
1   
On obtient :
&
5
41   
4
41  4   4  
44 44    4  
()*
5+,
&
5
 ()*
5+,
4    
D’où $ est dérivable en    et #
Exercice 3 (8 points) : Pour chacune des fonctions suivantes, écrire son domaine de définition
et son domaine de dérivabilité, en justifiant, puis déterminer sa fonction dérivée. Simplifier les
expressions obtenues.
1. 
2
Solution :
2
2
 est définie est dérivable sur
comme somme de fonction dérivable sur 3 Donc, on a :
6
2
6
2

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2. 
07
2
0
Solution :
07
2
0
est définie si et seulement si  % et  %  donc 8
9
 -./
est définie et dérivable sur -./comme somme de fonctions dérivables sur -./; donc
on a :
6
0:
2
09
;
0:
09
0:
;09
07
3. 
0<2
0=
Solution :
est définie si et seulement si    %  et  %  donc 8
7
 -./
est définie et dérivable sur -./comme quotient de fonctions dérivables sur
-./; donc on a :
6
         6
6
6
6
>
4. 
2
0
Solution :
est définie si et seulement si    %  et  %  donc 8
:
 -./
est définie et dérivable sur -./comme somme et quotient de fonctions dérivables sur
-./; donc on a :
6

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6
6
5. 
=
090<?
0=
Solution :
=
   @
=
est définie si et seulement si    %  et  %  donc 8
A
 -./.
=
est définie et dérivable sur -./comme quotient de fonctions dérivables sur
-./; donc on a :
6
=
   @6          @    6
6
=
   @  
6
=
   @      @  
6
=
6.
B
C  
Solution :
B
C  
B
est définie si et seulement si  D  donc 8
E
<
 F! GF.
B
est définie sur F! GF et dérivable sur H! GFcomme produit de fonctions dérivables
sur H! GF; donc on a :
6
B
 ICJ   C  6
6
B
C  C  
B
C C  C C
B
C   C