Devoir n°5 - Nombre dérivé et Tangentes
Source : http://cm.maths-lfb.fr
www.ma-i.fr
Devoir n°5 - Nombre dérivé et Tangentes - 1S
16 décembre 2013 - 1h
Exercice 1 (4 points) : Voici la courbe représentative
d’une fonction définie sur .
1. D’après le graphique, donner la valeur :
et
.
Solution :
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe
au point d’abscisse . On
trouve graphiquement
car tangent horizontale
2. Déterminer l’équation de la tangente à
au point d’abscisse et celle au point d’abscisse
.
Solution :
De manière générale, on a l’équation de la tangente au point d’abscisse a qui s’écrit :
En
On lit sur le graphe
et
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En ; on trouve :
Exercice 2 (3 points) :
Soit f une fonction définie et dérivable sur et soit
sa courbe représentative dans un repère
On sait que les points ! "! et ! appartiennent à
.
On sait de plus que :
et
.
Dessiner une courbe
vérifiant toutes ces conditions.
Exercice 3 (5 points) :
1. Soit la fonction # définie sur par #
.
A l’aide du taux d’accroissement, montrer que # est dérivable en et calculer #
.
Solution :
Avec $ % ; on a :
&
'
# $ #
$
Or :
# $ $
$
# $
$ $
$
# $ $ $
$
# $ $
$
Et #
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On obtient :
&
'
$
$
$$
$
$$$
$ $
()*
'+,
&
'
()*
'+,
$
D’où # est dérivable en et #
2. Soit la fonction $ définie sur -./ par$
012
3
A l’aide du taux d’accroissement, montrer que h est dérivable en et calculer $
3
Solution :
Pour éviter la confusion avec la fonction h, nous allons changer la variable h de calcul du
taux d’accroissement par 4.
Avec 4 % ; on a :
&
5
$ 4 $
4
Or :
$ 4
41
Et
$
1
On obtient :
&
5
41
4
41 4
4
44
44
4
()*
5+,
&
5
()*
5+,
4
D’où $ est dérivable en et #
Exercice 3 (8 points) :
Pour chacune des fonctions suivantes, écrire son domaine de définition
et son domaine de dérivabilité, en justifiant, puis déterminer sa fonction dérivée. Simplifier les
expressions obtenues.
1.
2
Solution :
2
2
est définie est dérivable sur
comme somme de fonction dérivable sur
3
Donc, on a :
6
2
6
2
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2.
07
2
0
Solution :
07
2
0
est définie si et seulement si
% et % donc 8
9
-./
est définie et dérivable sur -./comme somme de fonctions dérivables sur -./; donc
on a :
6
0:
2
09
;
0:
09
0:
;09
07
3.
0<2
0=
Solution :
est définie si et seulement si % et % donc 8
7
-./
est définie et dérivable sur -./comme quotient de fonctions dérivables sur
-./; donc on a :
6
6
6
6
6
>
4.
2
0
Solution :
est définie si et seulement si % et % donc 8
:
-./
est définie et dérivable sur -./comme somme et quotient de fonctions dérivables sur
-./; donc on a :
6
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6
6
5.
=
090<?
0=
Solution :
=
@
=
est définie si et seulement si % et % donc 8
A
-./.
=
est définie et dérivable sur -./comme quotient de fonctions dérivables sur
-./; donc on a :
6
=
@6
@ 6
6
=
@
6
=
@
@
6
=
6.
B
C
Solution :
B
C
B
est définie si et seulement si D donc 8
E
<
F! GF.
B
est définie sur F! GF et dérivable sur H! GFcomme produit de fonctions dérivables
sur H! GF; donc on a :
6
B
ICJ
C 6
6
B
C C
B
C C C
C
B
C
C
1
/
5
100%
