derivee cours

Mme Frikha 3ème année
Dérivabilité
Définition :
Soit f une fonction définie sur un ensemble D, et soit a un élément de D.
f est définie « au voisinage » de a.
Le nombre dérivé de f en x=a est noté f '(a) et est défini par :
f ‘(a) =
( ) ( )
lim
xa
f x f a
xa
ou f ‘(a) =
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h
Tangente à la courbe :
La tangente au point A d’abscisse a de la courbe représentative de f a pour équation :
y = f '(a)(x  a) + f(a)
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a est : f '(a)
Règles de dérivation
Nom
Règle
Conditions
Linéarité
Quels que soient la fonction dérivable et le réel a.
Linéarité
Quelles que soient les fonctions dérivables et .
Produit
Quelles que soient les fonctions dérivables et .
Inverse
Quelle que soit la fonction dérivable qui ne s'annule pas
(cas particulier f =1 de la ligne suivante)
Quotient
Quelles que soient la fonction dérivable et la fonction dérivable
qui ne s'annule pas
Puissance
'1
. '.
nn
f n f f 
 n  ℤ
Racine
Quelle que soit la fonction dérivable strictement positive
(cas particulier α=1/2 de la ligne précédente)
Si
( ) ( )
lim
xa
f x f a
xa
= +∞ alors la
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le haut
Si
( ) ( )
lim
xa
f x f a
xa
= +∞ alors la
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le bas
Si
( ) ( )
lim
xa
f x f a
xa
= ∞ alors la
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le bas
Si
( ) ( )
lim
xa
f x f a
xa
= ∞ alors la
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le haut

f : x  sin x
f ’ : x  cos x
IR
f : x  cos x
f ’ : x  – sin x
IR
f : x ⟼ tan x
f ' : x ⟼ 1+tan² x
,
22
kk
;k ℤ
DERIVEE DE f :x  g ( a x + b )
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I .
Pour tout réel x , tel que a x + b  I , la fonction f : x  g ( a x + b ) est dérivable et :
f ’ ( x ) = a .g ’( a x + b )
fonction f
fonction dérivée f ’
ensemble de dérivabilité
f : x  x 2
f ’: x  2 x
IR
f : x  x 3
f ’: x  3 x 2
IR
f : x  x n ( n  IN* )
f ’: x  n x n - 1
IR
f : x  1
x
f ’: x  – 1
x²
] –  ; 0 [  ] 0 ; +  [
f : x  1
x²
f ’: x  – 2
x3
] –  ; 0 [  ] 0 ; +  [
f : x 
n
x
1
( n  IN* )
f ’: x  – n
xn+1
] –  ; 0 [  ] 0 ; +  [