derivee cours

Mme Frikha
3ème année
Dérivabilité
Définition :
Soit f une fonction définie sur un ensemble D, et soit a un élément de D.
f est définie « au voisinage » de a.
Le nombre dérivé de f en x=a est noté f '(a) et est défini par :
f ‘(a) = lim
xa
f ( x)  f ( a )
xa
ou
f ‘(a) = lim
h0
f ( a  h)  f ( a )
h
Tangente à la courbe :
La tangente au point A d’abscisse a de la courbe représentative de f a pour équation :
y = f '(a)(x  a) + f(a)
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a est : f '(a)
Si lim
xa
f ( x)  f (a )
= +∞ alors la
xa
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le haut
Si lim
xa
f ( x)  f (a )
= ∞ alors la
xa
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le bas
Si lim
xa
f ( x)  f (a )
= +∞ alors la
xa
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le bas
Si lim
xa
f ( x)  f (a )
= ∞ alors la
xa
courbe de f admet au point A(a,f(a))
une demi-tangente verticale dirigée
vers le haut
Règles de dérivation
Nom
Règle
Conditions
Linéarité
Quels que soient la fonction dérivable
Linéarité
Quelles que soient les fonctions dérivables
et
.
Produit
Quelles que soient les fonctions dérivables
et
.
Quelle que soit la fonction dérivable
et le réel a.
qui ne s'annule pas
Inverse
(cas particulier f =1 de la ligne suivante)
Quelles que soient la fonction dérivable
qui ne s'annule pas
Quotient
Puissance
Racine
 f   n. f '. f
n '
n 1
et la fonction dérivable
nℤ
Quelle que soit la fonction dérivable
strictement positive
(cas particulier α=1/2 de la ligne précédente)
fonction f
f:x
f:x
f:x
f:x
f:x
f:x
f:x
f:x
fonction dérivée f ’

x2
f ’: x

x3
f ’: x

xn



( n  IN* )
f ’: x

f ’: x

1
x²
f ’: x

1
( n  IN* )





xn
f ’: x
sin x
f’:x
cos x
f’:x
f : x ⟼ tan x
DERIVEE DE f :x


3x2
IR
n x n-1
IR

1
x

IR



2x




–
1
x²

–
2
x3




ensemble de dérivabilité
–
n
xn+1
]–;0[]0;+[
]–;0[]0;+[
]–;0[]0;+[

cos x
IR

– sin x
IR


f ' : x ⟼ 1+tan² x

 


k

,
 k  ;k ℤ
 2
2

g(ax+b)
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I .
Pour tout réel x , tel que a x + b  I , la fonction f : x  g ( a x + b ) est dérivable et :
f ’ ( x ) = a .g ’( a x + b )
