DERIVEE D’UNE FONCTION 1S Chapitre C3 I) Nombre dérivé et tangente : 1) Taux de variation : Définition : On appelle taux de variation d’une fonction f entre deux valeurs a et b le f (b) f ( a ) rapport . ba a) Géométriquement, le taux de variation de f entre a et b représente la pente de la droite (AB), où A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) sont deux points de Cf. b) Exemples : Calculer le taux de variation de f : x 2 x3 entre 4 et 7. f (7) f (4) 2 73 2 43 2 343 2 64 558 186 74 3 3 3 5 entre 1 et 2. x 5 5 g (2) g (1) 1 2,5 5 2,5 2,5 2 2 1 1 1 1 Calculer le taux de variation de g : x 2) Nombre dérivé : En rapprochant B de A, la droite (AB) se rapproche de la tangente à Cf en A, et le taux de variation de f se rapproche de la pente de la tangente. f ( a h ) f ( a ) f ( a h ) f (a ) En écrivant b = a + h et en rapprochant h de zéro, on a : ( a h) a h qui se rapproche de la pente de la tangente en A. f ( a h) f ( a ) admet une limite lorsque h tend vers 0, on dit que la h fonction f est dérivable en a. La limite atteinte est alors appelée nombre dérivé en a et f ( a h) f ( a ) notée f ’(a). On note : f '(a ) lim . h 0 h Définition : Lorsque Propriété : Lorsque f ’(a) existe, alors c’est la pente de la tangente à Cf en A(a ; f(a)). Exemple 1 : a) Calculer le taux de variation de f : x b) En déduire f ’(0,5). c) Tracer Cf et Tf (0,5). d) Quelle est l’équation de Tf (0,5) ? Exemple 2 : a) Calculer le taux de variation de g : x 4 x 2 5 entre 0,5 et (0,5 + h). 3 entre -1 et (-1 + h). x b) En déduire g’(-1). c) Tracer Cg et Tg (-1). d) Quelle est l’équation de Tg (-1) ? Exemple 3 : a) Calculer le taux de variation de k : x b) En déduire k’(5). c) Tracer Ck et Tk (5). d) Quelle est l’équation de Tk (5) ? x3 7 entre 5 et (5 + h). 3) Equation de la tangente : Théorème : Soit une fonction f et Cf sa courbe représentative. Si f ’(a) est connu, alors l’équation de la tangente au point d’abscisse a est : y = f ’(a)(x – a) + f (a) Preuve : Le point A appartient à la courbe, donc A (a ; f(a)). On prend un point M (x ; y) sur Tf(a) différent de A ; (AM) a pour pente f ’(a). y f (a ) On a donc : f ' (a ) donc y – f(a) = f ’(a)(x – a) puis y = f ’(a)(x – a) + f (a) xa 4) Approximation affine d’une fonction en un point : Erreur = distance MP Autour du point A (a ; f(a)), la courbe Cf et la tangente Tf(a) sont très proches. L’écart entre f(x) (valeur exacte de la fonction) et f ’(a)(x – a) + f (a) (valeur approchée de la fonction) est d’autant plus petit que x est proche de a. En notant h = x – a, on a : f (a h) f (a) f '(a)h (valable seulement pour h petit) f (a) f '(a)h est l’approximation affine locale de f (a + h). II) Fonction dérivée f ’ : 1) Définition : Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si f admet un nombre dérivé f ’(x) en tout x de I. On note f ’ la fonction ainsi obtenue : c’est la fonction dérivée de f (« f prime ») 2) Exemple : Soit f : x x2 1 définie sur . On prend une valeur a au hasard. f (a h) f (a) [(a h)2 1] [a 2 1] a 2 2ah h 2 1 a 2 1 2ah h 2 2a h h h h h Donc f ’(a) = 2a (vrai pour tout valeur réelle de a !) La fonction x 2x donne donc f ’(x) à chaque fois. Donc f : x x2 1 admet pour fonction dérivée f ' : x 3) Dérivées des fonctions usuelles : f (x) constante k x ax + b x² x³ n x , avec n N * 1 x 1 , avec n N * xn x sin x (x en radians) cos x (x en radians) 4) Règles de calcul : a) Somme : f ’(x) 0 1 a 2x 3x² nx n1 1 2 x n x n 1 1 2 x cos x Intervalle de validité ;0 ou 0; ;0 ou 0; 0; – sin x Théorème : Si u et v sont dérivables sur I, alors : b) 2x . (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x) Produit : Théorème : Si u et v sont dérivables sur I, alors : (uv)’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) En particulier : (ku)’ = ku’ pour k une constante réelle. (u²)’ = 2uu’ (conséquence du théorème avec u = v) Exemple : Soit f : x (4 x 2 3)(5 x) ; on pose u(x) = 4x² – 3 et v(x) = 5 – x → f '( x) u( x)v '( x) u '( x)v( x) (4 x 2 3)(1) (8x)(5 x) 4 x 2 3 40 x 8x 2 12 x 2 40 x 3 c) Inverse et quotient : Théorème : Si v est dérivable sur I avec v( x) 0 sur I, alors : 1 I v ' F G Hv J K v u I u' v uv ' F G Hv J K v ' 2 ' 2 Exemples : (2) Soit g : x g '( x) 5 (1) Soit f : x 1 v '( x) 3 ; on pose v(x) = 3x – 7 → f '( x) 2 3x 7 v ( x) (3x 7) 2 5 1 ; on a : g ( x) 5 2 → 2 7x 2 7x 2 v ' 14 x 70 x 5 2 2 2 v (7 x 2) (7 x 2 2)2 3x 2 ; on pose u(x) = 3x – 2 et v(x) = 10x – 7 → 10 x 7 u ' v uv ' 3(10 x 7) 10(3x 2) 1 h '( x) ... 2 2 v (10 x 7) (10 x 7) 2 (3) Soit h : x d) Dérivabilité : Pour utiliser les formules de dérivation précédentes, il faut d’abord régler le problème de leur validité (sur quel domaine peut-on dériver ?). Propriété : 1) Les fonctions polynômes sont définies et dérivables sur . 2) Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition. Exemples de rédaction : (1) f ( x) 7 x10 x7 18 ; f est une fonction polynôme, donc f est définie et dérivable sur → f ' ( x) 70 x9 7 x6 15 x (2) g ( x) ; (v.i.) 16 x 2 0 ; x 2 16 ; x = 4 ou x = – 4 ; donc Dg 16 x 2 g est une fonction rationnelle donc g est dérivable sur 4;4 . u(x) = 15 – x → u’(x) = – 1 v(x) = 16 – x² → v’(x) = – 2x 4;4 . → g ' ( x) e) 1(16 x 2 ) (2 x)(15 x) x 2 30 x 16 (16 x 2 ) 2 (16 x 2 ) 2 Dérivée de g telle que g(x) = f (ax + b) : Théorème : Soit f une fonction dérivable sur I, et g la fonction définie par g(x) = f (ax + b). Alors g est dérivable pour tout x tel que ax + b appartient à I, et g ' ( x) af '(ax b) Exemples : (1) Soit g : x (4 x 20)12 ; on pose f ( x) x12 → g ' ( x) 4 f '(4 x 20) avec f '( X ) 12 X 11 On remplace X par 4x + 20 ; on trouve : g ' ( x) 4 12(4 x 20)11 48(4 x 20)11 (2) Soit g : x cos(2,5 x 7) ; on a : g ' ( x) 2,5 f '(2,5x 7) 2,5 [ sin(2,5x 7)] 2,5sin(2,5x 7)