PCSI TD du Chapitre 8 – Fonctions numériques - Dérivation Exercice 1 Soit f : ℝ → ℝ . On dit que f admet une dérivée symétrique en a ∈ ℝ si f (a + h) − f (a − h) admet une limite 2h finie quand h tend vers 0. 1. Montrer que si f est dérivable à droite et à gauche en a, alors f y admet une dérivée symétrique. 2. Justifier que la réciproque est fausse. Exercice 2 Soit n ∈ ℕ* . Déterminer la dérivée nième des fonctions f : x ֏ sin 3 x , g : x ֏ e x sin x et h : x ֏ x n −1 ln x . Exercice 3 − Soit la fonction f définie par f (x) = e 1 x si x > 0 et f (x) = 0 si x ≤ 0 . Prouver que f est de classe C ∞ sur ℝ . ☺ On pourra déterminer la forme les dérivées successives de f sur ℝ*+ . Exercice 4 On cherche à déterminer les fonctions f définies sur ℝ*+ , non nulles, dérivables en 1 et telles que : ∀ (x, y) ∈ ℝ*+ × ℝ*+ , f (xy) = f (x)f (y) . 1. Montrer qu’une telle fonction est dérivable sur ℝ*+ , puis de classe C ∞ sur ℝ*+ . 2. Montrer que ∀ x ∈ ℝ*+ , f (x) > 0 . 3. En posant alors g = ln f , répondre au problème. Exercice 5 On dit qu’un réel a est un point d’inflexion d’une fonction f lorsque la courbe représentative de f « traverse sa tangente » au point d’abscisse a. Montrer que si f est une fonction de classe C 3 au voisinage de a avec f "(a) = 0 et f '''(a) ≠ 0 , alors f admet un point d’inflexion en a. La réciproque est-elle vraie ? Exercice 6 Soit f :[a , b] → ℝ dérivable et telle que f '(a) < f '(b) . Montrer que f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, c’est-à-dire que ∀ k ∈ [f '(a) , f '(b)] , il existe c ∈ [a , b] tel que f '(c) = k . ☺ On pourra commencer par le cas où k = 0 et montrer qu’alors f admet un minimum sur [a , b] . PCSI Exercice 7 Soient f et g deux fonctions continues sur [a , b] et dérivables sur ]a , b[ telles que ∀ x ∈ ]a , b[ , g '(x) ≠ 0 . f (a) − f (b) f '(c) = . g(a) − g(b) g '(c) f '(x) f (x) 2) On suppose maintenant que f (a) = g(a) = 0 et que lim = ℓ ∈ ℝ . Montrer que lim = ℓ. x → a g '(x) x → a g(x) 1) On suppose que g(a) ≠ g(b) . Montrer qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que Exercice 8 Soit f une fonction de classe C 1 sur [a , b] et deux fois dérivable sur ]a , b[ . 1 1) Montrer qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que f (b) = f (a) + (b − a)f '(a) + (b − a)²f "(c) . 2 1 ☺ On pourra poser g(x) = f (b) − f (x) − (b − x)f '(x) − k(b − x)² avec k bien choisi. 2 1 2) Montrer qu’il existe d ∈ ]a , b[ tel que f (a) = f (b) + (a − b)f '(b) + (a − b)²f "(d) . 2 Exercice 9 Soit f une fonction de classe C 2 sur [a , b]. f (a) + f (b) a + b (b − a)² =f f "(c) . + 2 8 2 a+b a+b ☺ On pourra utiliser les résultats de l’exercice précédent d’abord sur [a , ] , puis sur [ , b] . 2 2 f (x) + f (y) x+y 2. Déterminer toutes les fonctions de classe C 2 sur ℝ telles que ∀ (x, y) ∈ ℝ ² , =f . 2 2 1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que Exercice 10 Soit P une fonction polynôme à coefficients réels admettant n racines réelles distinctes. Montrer que P ' + P admet au moins n racines réelles distinctes. Exercice 11 Soient a, b et c trois réels tels que a < b < c et f une fonction dérivable sur [a , b] telle que f (a) = f (b) = 0 . Montrer qu’il existe une tangente au graphe de f qui passe par le point (c; 0) . Exercice 12 1) Prouver que toute combinaison linéaire de deux fonctions lipschitziennes sur un intervalle I est lipschitziennes sur I. 2) Le produit de deux fonctions lipschitziennes est-il lipschitzien ? Et si ces fonctions sont bornées ?