Dérivation - David Caffin

PCSI
TD du Chapitre 8 – Fonctions numériques - Dérivation
Exercice 1
Soit f :
→
ℝ ℝ
. On dit que f admet une dérivée symétrique en a
∈
ℝ
si
f (a h) f (a h)
2h
+ − −
admet une limite
finie quand h tend vers 0.
1. Montrer que si f est dérivable à droite et à gauche en a, alors f y admet une dérivée symétrique.
2. Justifier que la réciproque est fausse.
Exercice 2
Soit
*
n∈
ℕ
. Déterminer la dérivée n
ième
des fonctions
3
f : x sin x
֏
,
x
g : x e sin x
֏
et
n 1
h : x x ln x
−
֏
.
Exercice 3
Soit la fonction f définie par
1
x
f (x) e
−
= si
x 0
>
et
f (x) 0
=
si
x 0
≤
. Prouver que f est de classe
C
∞
sur
ℝ
.
☺ On pourra déterminer la forme les dérivées successives de f sur
*
+
ℝ
.
Exercice 4
On cherche à déterminer les fonctions f définies sur
*
+
ℝ
, non nulles, dérivables en 1 et telles que :
* *
(x, y)
+ +
∀ ∈ ×
ℝ ℝ
,
f (xy) f (x)f (y)
=
.
1. Montrer qu’une telle fonction est dérivable sur
*
+
ℝ
, puis de classe
∞
C
sur
*
+
ℝ
.
2. Montrer que
*
x
+
∀ ∈
ℝ
,
f (x) 0
>
.
3. En posant alors
g ln f
=
, répondre au problème.
Exercice 5
On dit qu’un réel a est un point d’inflexion d’une fonction f lorsque la courbe représentative de f « traverse sa
tangente » au point d’abscisse a. Montrer que si f est une fonction de classe
3
C
au voisinage de a avec
f "(a) 0
=
et
f '''(a) 0
≠
, alors f admet un point d’inflexion en a. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 6
Soit f :[a , b]
→
ℝ
dérivable et telle que
f '(a) f '(b)
<
. Montrer que
f '
vérifie la propriété des valeurs
intermédiaires, c’est-à-dire que
k [f '(a) ,f '(b)]
∀ ∈
, il existe
c [a , b]
∈
tel que
f '(c) k
=
.
☺ On pourra commencer par le cas où
k 0
=
et montrer qu’alors f admet un minimum sur
[a , b]
.

PCSI
Exercice 7
Soient f et g deux fonctions continues sur
[a , b]
et dérivables sur
]a , b[
telles que
x ]a , b[
∀ ∈
,
g '(x) 0
≠
.
1) On suppose que
g(a) g(b)
≠
. Montrer qu’il existe
c ]a , b[
∈
tel que
f (a) f (b) f '(c)
g(a) g(b) g '(c)
−
=
−
.
2) On suppose maintenant que
f (a) g(a) 0
= =
et que
x a
f '(x)
lim g '(x)
→
= ∈
ℓ ℝ
. Montrer que
x a
f (x)
lim g(x)
→
=
ℓ
.
Exercice 8
Soit f une fonction de classe
1
C
sur
[a , b]
et deux fois dérivable sur
]a , b[
.
1) Montrer qu’il existe
c ]a , b[
∈
tel que 1
f (b) f (a) (b a)f '(a) (b a)²f "(c)
2
= + − + − .
☺ On pourra poser
1
g(x) f (b) f (x) (b x)f '(x) k(b x)²
2
= − − − − − avec k bien choisi .
2) Montrer qu’il existe
d ]a , b[
∈
tel que 1
f (a) f (b) (a b)f '(b) (a b)²f "(d)
2
= + − + − .
Exercice 9
Soit f une fonction de classe
2
C
sur
[a , b]
.
1. Montrer qu’il existe
c ]a , b[
∈
tel que
f (a) f (b) a b (b a)²
f f "(c)
2 2 8
+ + −
= +
  .
☺ On pourra utiliser les résultats de l’exercice précédent d’abord sur
a b
[a , ]
2
+
, puis sur a b
[ , b]
2
+
.
2. Déterminer toutes les fonctions de classe
2
C
sur
ℝ
telles que
(x, y) ²
∀ ∈
ℝ
,
f (x) f (y) x y
f
2 2
+ +
=
.
Exercice 10
Soit P une fonction polynôme à coefficients réels admettant n racines réelles distinctes. Montrer que
P ' P
+
admet au moins n racines réelles distinctes.
Exercice 11
Soient a, b et c trois réels tels que
a b c
< <
et f une fonction dérivable sur
[a , b]
telle que
f (a) f (b) 0
= =
.
Montrer qu’il existe une tangente au graphe de f qui passe par le point
(c;0)
.
Exercice 12
1) Prouver que toute combinaison linéaire de deux fonctions lipschitziennes sur un intervalle I est
lipschitziennes sur I.
2)
Le produit de deux fonctions lipschitziennes est-il lipschitzien ? Et si ces fonctions sont bornées ?