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3 On considère l'algorithme suivant : Donner deux entiers positifs a et b
1° Faire tourner cet algorithme pour a = 13 et b = 6,
puis pour a = 12 et b = 6, et enfin pour a = 6et b = 13.
{ q = 0;r =13 13
6 donc { r = 13 – 6 = 7;q = 0 + 1 = 1 7
6 donc { r = 7 – 6 = 1;q = 1 + 1 = 2 1 < 6 donc on
afiche r = 1 et q = 2
{ q = 0;r = 12 12
6 donc { r = 12 – 6 = 6;q = 0 + 1 = 1 6
6 donc { r = 6 – 6 = 0;q = 1 + 1 = 2 0 < 6 donc
on affiche r = 0 et q = 2
{ q = 0;r = 6 6 < 13 donc on affiche r = 6 et q = 0
2° Qu'effectue cet algorithme ?
La division euclidienne de a par b. r est alors le reste et q le quotient.
4 On veut déterminer comment choisir n pour que 2n – 1 soit divisible par 9 ? 1° Déterminer à quels restes de la division
euclidienne par 9 sont congrus les nombres An = 2n pour n
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2° Déterminer alors auquel des restes précédents est congru 26 k pour k entier naturel.
26 k = (26)k 26 1 [9] donc (26)k 1k [9] donc 26 k 1 [9]
3° Conclure sur le choix de n pour que 2n – 1 soit divisible par 9.
26 k 1 [9] donc 26 k – 1 0 [9] Donc si n est divisible par 6 alors 26 k – 1 est divisible par 9.
Réciproquement si 2n – 1 est divisible par 9 démontrons que n est divisible par 6.
n = 6 q + r où r est le reste de la division de n par 6 et q le quotient de cette division.
2n = 26 q + r = 26 q
2r donc 2n 2r [9]
Si 2n – 1 0 [9] alors 2n 1 [9] alors 2r 1 [9]
r
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}donc d'après le tableau de la question 1° si 2r 1 [9] alors r = 0et on êut alors conclure
que n est divisible par 6.
5 1° Montrer que dans le système décimal, tout nombre est congru à son dernier chiffre modulo 10.2° Montrer que 19992k 1
(modulo 10) pour tout entier k.
19992 se termine par 1 (car 92 = 81) donc 19992 === 1 [10] donc (19992)k 1k [10] donc 19992 k 1 [10]
3° Calculer le dernier chiffre de 199919. 199919 = 199918 + 1 = 19992
9
1999
donc par compatibilité avec la multiplication 19992
9
1999 1
9 [20)
donc 199919 9 [20]. Le dernier chiffre de 199919 est donc 9.
6 1° a) Montrer que 1 999 est congru à 4 modulo 7.
1999 – 4 = 1995 = 7
285 donc 1999 – 4 est divisible par 7 donc 1999 === 4 (7)
b) Déterminer le plus petit entier naturel congru à 2 007 modulo 7.
2007 = 1999 + 8 et { 1999 4 [7];8 1 [7] donc 2007 5 [7]
2° Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7. a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n3 modulo 7.
Modulo 7 on a : n 5 donc n3 53. 53 = 125 = 17
7 + 6 donc n3 6
b) En déduire que (n3 + 1) est divisible par 7.
Modulo 7 on a : { n3 6;1 1 donc n3 + 1 6 + 1 donc n3 + 1 == 0 donc n3 + 1 est divisible par 7.
3. Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors (n3 – 1) est divisible par 7.
Modulo 7 : si n 4 alors n3 43. 43 = 64 = 7
9 + 1 donc n3 1 et donc n3 – 1 == 0. n3
1 est divisible par 7.
4° On considère le nombre A = 1 9993 + 2 0073. Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que le nombre A est
divisible par 7.
On a vu que, modulo 7 { 1999 4 on a donc 19993 – 1 0 ;2007 5 on a donc 20073 + 1 0 donc 19993 – 1
+ 20073 + 1 0 donc A 0
7 Les parties I et II sont indépendantes I On considère deux nombres entiers a et b tels que : a est congru à 10 modulo 23 et
b est congru à 15 modulo 23. 1° Déterminer le plus petit nombre entier congru à (a + b) modulo 23.
Modulo 23 on a : { a 10;b 15 donc par compatibilité avec l'addition on a : a + b 10 + 15
b
- donner à r la valeur r – b
- donner à q la valeur q + 1
Afficher les valeurs de q et de r