Exercice de baccalauréat

Terminale S, spécialité mathématique
Exercice du baccalauréat sur les congruences
On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat.
Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors
a p − 1 ≡1(modulo p) .
On considère la suite (u n ) d’entiers naturels définie par :
u 0=1 et, pour tout entier naturel n, u n+1=10 u n+21 .
1_ Calculer u 1 , u 2 et u 3 .
2_
a_ Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3 u n=10n+1 −7 .
b_ En déduire, pour tout entier naturel n, l’écriture décimale de u n .
3_ Montrer que u 2 est un nombre premier.
On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (u n ) par certains
nombres premiers.
4_ Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
5_
a_ Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3 u n≡4 −(−1)n ( modulo 11).
b_ En déduire que, pour tout entier naturel n, u n n’est pas divisible par 11.
6_
a_ Démontrer l’égalité : 1016≡1(modulo 17) .
b_ En déduire que, pour tout entier naturel k, u 16 k+8 est divisible par 17.