Congruences (2)

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Congruences (2)
Questions de cours
1. Compatibilité avec les opérations +,−,×: dans une congruence modulo n, on peut
remplacer tout nombre figurant dans ces opérations par un nombre congru modulo
n, et obtenir ainsi une congruence équivalente avec le même modulo.
Exprimer ce théorème par des formules : ...?
2. Congruences, multiplication et division.
Indiquer quelles implications ou équivalences entre ces trois phrases sont vraies ou
fausses (pour cnon nul) ...?
a≡b[n]
ac ≡bc [n]
ac ≡bc [nc]
3. Congruences et puissances
Indiquer quelles implications ou équivalences entre ces trois phrases sont vraies ou
fausses ...?
a≡b[n]
ac≡bc[n]
ca≡cb[n]
4. Raisonnement par disjonction de cas avec les congruences modulo n:
tout nombre entier est congru à ...? ou ...? (etc.) modulo n
Exemples
1. Démontrer la propriété suivante en utilisant des congruences : 23+ 1 est divisible par
9, donc 22013 + 1 est divisible par 9
23+1 = 9, donc 23+1 ≡0 [9], donc en ajoutant −1aux deux membres 23≡ −1 [9].
2013 est un multiple de 3 : 2013 = 671 ×3, donc 22013 = 2671×3=23671.
Or 23≡ −1 [9], donc on peut remplacer 23par −1dans la congruence modulo 9
suivante : 22013 ≡23671 ≡(−1)671 [9]. Or 671 est impair, donc (−1)671 =−1,
donc finalement 22013 ≡ −1 [9], soit 22013 + 1 ≡0 [9] en ajoutant 1 aux deux
membres. Cela signifie que 22013 + 1 est divisible par 9.
2. Démontrer que, pour tout x,x2≡0ou 1 [4].
En déduire que x2012 + 2013 n’est jamais divisible par 4.
Tout nombre xest congru soit à 0, soit à 1, soit à 2, soit à 3 modulo 4 (ce sont
les restes possibles dans la division euclidienne par 4). On peut alors raisonner par
disjonction des cas :
Si x≡0 [4] alors en élevant à la puissance 2 : x2≡0 [4]
Si x≡1 [4] alors en élevant à la puissance 2 : x2≡1 [4]
Si x≡2 [4] alors en élevant à la puissance 2 : x2≡4≡0 [4]
Si x≡3 [4], c’est-à-dire x≡ −1 [4], alors en élevant à la puissance 2 : x2≡1 [4]
Or 2012 = 1006 ×2, donc x2012 =x21006 ≡0ou 1 [4] (on remplace x2par 0 ou
par 1).
D’autre part 2013 = 2012 + 1 = 503 ×4+1, donc 2013 ≡1 [4].
Donc x2012 + 2013 est congru à 0+1ou à 1+1 modulo 4.
1 et 2 ne sont pas divisibles par 4 donc pas congrus à 0, donc x2012 + 2013 n’est
jamais congru à 0 modulo 4, donc jamais divisible par 4.
3. Déterminer tous les entiers relatifs x, tels que x2≡0 [4].
Attention, on pourrait être tenté de dire, comme avec les égalités habituelles, que
la réponse est x≡0 [4]. Mais ce serait faux, car on n’obtiendrait pas toutes les
solutions. D’après ce qu’on a vu dans l’exercice précédent (raisonnement par dis-
jonction des cas), les xsolutions sont ceux qui sont congrus à 0 ou à 2 modulo 4,
c’est-à-dire les nombres qui s’écrivent sous la forme 4kou 2+4k.
4. Dans les exemples suivants de la forme a≡b[c], l’usage de « donc » est-il justifié ?
a) 12 ≡7 [5] donc 13 ≡8 [6].Non : on ne peut pas ajouter 1 à caussi
b) 12 ≡7 [5] donc 24 ≡14 [10].Oui : on multiplie a, b et cpar 2
c) 12 ≡7 [5] donc 24 ≡14 [5].Oui : on multiplie a, b par 2 en gardant c
d) 20 ≡2 [6] donc 10 ≡1 [6].Non : on divise aet bpar 2, il faut diviser caussi
e) 12 ≡7 [5] donc 144 ≡49 [5].Oui : on élève aet bau carré, en gardant c
f) 2≡7 [5] donc 22≡27[5].Non : on ne peut pas remplacer dans les exposants
g) 7≡ −1 [8] donc 72007 + 72008 est divisible par 8. Oui : on peut remplacer 7 par
−1dans la base d’une puissance (xdans xn). Donc −1+1≡0 [8]
h) 15 ≡27 [12] donc 5≡9 [4].Oui : on divise a,bet cpar 3