1 On veut déterminer comment choisir n pour que 2 – 1 soit divisible

1 On veut déterminer comment choisir n pour que 2n – 1 soit divisible par 9 ?
1° Déterminer à quels restes de la division euclidienne par 9 sont congrus les nombres
An = 2n pour n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2° Déterminer alors auquel des restes précédents est congru 26 k pour k entier naturel.
3° Conclure sur le choix de n pour que 2n – 1 soit divisible par 9.
2 1° Montrer que dans le système décimal, tout nombre est congru à son dernier chiffre modulo 10.
2° Montrer que 19992 k ≡ 1 (modulo 10) pour tout entier k.
3° Calculer le dernier chiffre de 199919.
3 1° a) Montrer que 1 999 est congru à 4 modulo 7.
Bac 2002 - Antilles
b) Déterminer le plus petit entier naturel congru à 2 007 modulo 7.
2° Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7.
a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n3 modulo 7.
b) En déduire que (n3 + 1) est divisible par 7.
3° Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors (n3 – 1) est divisible par 7.
4° On considère le nombre A = 1 9993 + 2 0073.
Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que le nombre A est divisible par 7.
4 Les parties I et II sont indépendantes
I On considère deux nombres entiers a et b tels que :
a est congru à 10 modulo 23 et b est congru à 15 modulo 23.
1° Déterminer le plus petit nombre entier congru à (a + b) modulo 23.
2° Déterminer le plus petit entier naturel congru à a b modulo 23.
II 1° Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 1 000 modulo 111.
2° Montrer que pour tout nombre naturel n, 1 000n est congru à n modulo 111.
En déduire que le nombre 108 + 104 + 1 est divisible par 111.
Bac 2002 - Japon
5 Dans une entreprise de vente par correspondance, les références des articles sont composées de 6 chiffres et
d'une lettre de contrôle afin d'éviter les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l'alphabet correspondant au
reste de la division de la référence numérique par 26.
Exemple : la référence numérique 123 436 = 4 748 × 26 + 8 et la 8ième de l'alphabet est H donc la référence de
l'article avec sa clé de contrôle est 123 456 H.
1° La référence numérique d'un article est 780 503, déterminer la lettre de contrôle correspondant à cette référence.
2° On considère la référence « .37 254 H » où le premier chiffre a été effacé.
a) On note n le chiffre manquant.
Bac 2003 - Amérique du Nord
Vérifier que le nombre n37 254 = n × 100 000 + 37 254.
b) Déterminer le reste de la division de 100 000 par 26, puis de 37 254 par 26.
c) En déduire que 4 n + 22 = 8 (modulo 26).
d) Sachant que 1 ≤ n ≤ 9, déterminer le chiffre manquant de la référence.
6 1° On sait que 107 ≡ 5 [mod 17] et 1016 ≡ 1[mod17]. Alors
a) 107 +1011 ≡ 5 [mod17]
b) 1049 ≡ 25 [mod17]
c) 107k ≡ 5 [mod17] pour tout entier k.
d) 1016k ≡ 1 [mod17] pour tout entier k.
2° Si a ≡ 1 [mod13] alors
a) a2 – 1 est un multiple de 13.
b) 2 a peut être un multiple de 13.
c) a est toujours un nombre pair.
d) a2 + 1 est un multiple de 13.
3° Si x et y sont deux entiers, alors
a) Si x et y sont impairs, leur produit peut être pair..
b) Le produit x y est pair si et seulement si x et y sont tous les deux pairs.
c) Le produit x y est impair si et seulement x et y sont tous les deux impairs
d) La somme x + y est paire si et seulement si x et y sont tous les deux pairs.