Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés 1 - IMJ-PRG

Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés
Agrégation externe
2016-2017
Leçons : 121,123,125,190.
Résultats admis : cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps fini.
1 – Un critère général – Thue
Soient n > 0un entier qui n’est pas un carré et d∈ {1,2}. Si −dest un carré modulo n
alors il existe deux entiers aet btels que n=a2+db2.
Proposition 1
Démonstration. Considérons l’ensemble S={0, . . . , m}, où mest la partie entière de √n. Fixons
un entier wtel que w2≡ −d(mod n)et notons fl’application S×S→Z/nZdéfinie par
f(x, y) = x+wy. Le cardinal de S×Sétant égal à (m+ 1)2> n, le principe des tiroirs affirme
qu’il existe deux couples distincts (x, y)et (u, v)tels que f(x, y) = f(u, v). En posant a=x−u
et b=v−y, cette dernière identité se traduit par la congruence
a≡bw (mod n)
et, en élévant au carré, on en déduit que ndivise l’entier a2+db2. On vérifie alors facilement les
inégalités
0< a2+db2<(1 + d)n,
Pour d= 1, on obtient directement l’identité a2+db2=n. Pour d= 2, si a2+ 2b2= 2nalors
a= 2cest pair, ce qui amène à la relation b2+ 2c2=n.
2 – Deux carrés – Fermat
Un nombre premier pest somme de deux carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 3
modulo 4.
Théorème 2
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Démonstration. Si pest somme de deux carrés alors il est congru à 1ou 2modulo 4. Réciproque-
ment, l’assertion étant triviale pour p= 2, on peut seupposer pcongru à 1modulo 4. Dans ce cas,
le groupe F×
p, qui est cyclique d’ordre dvisible par 4, possède un élément xd’ordre 4. On a alors
la relation x2=−1et la proposition 1permet de conclure.
3 – Trois carrés – Legendre
Un nombre premier pest somme de trois carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 7
modulo 8.
Théorème 3
Démonstration. Le carré d’un entier étant congru à 0,1ou 4modulo 8, si pest somme de trois
carrés, on vérifie facilement qu’il n’est pas congru à 7modulo 8. Réciproquement, l’assertion étant
triviale pour p= 2, on peut supposer pimpair, auquel cas il est congru à 1,3ou 5modulo 8. Pour
p≡1 (mod 4), on applique le théorème 2. Finalement, pour p≡3 (mod 8), l’entier p2−1étant
divisible par 8, il existe un élément x∈Fp2d’ordre 8, qui vérifie la relation x4=−1, ou encore
x2+x−2= 0. En posant y=x−x−1, on obtient alors les identités
y2=x2−2 + x−2=−2.
En d’autres termes, yest l’une des deux racines carrée de −2dand Fp2(l’autre étant égale à −y).
En particulier, −2est un carré dans Fpsi et seulement si y∈Fp, ce qui se traduit par l’identité
yp=y. Les relations
xp=xp+1x−1= (x4)p+1
4x−1= (−1)p+1 4x−1=−x−1
amènent alors aux identités
yp= (x−x−1)p=xp−x−p=−x−1+x=y.
En appliquant le théorème 1, on en déduit l’existence de deux entiers aet btels que p=a2+ 2b2
et pest bien la somme de trois carrés.
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