Énoncé

Devoir Libre no 3
MP 933 & 934
☞ er octobre 
Une accélération de convergence
D’après Centrale 2009, PC 1
On accélère ici la convergence d’une série, pour calculer ζ(3) =
+∞
X
1
à ε près, avec ε = 5.10−5 .
3
n
n=1
1. (a) Soient q, N ∈ N, avec q > 2 et N > 1. À l’aide d’une comparaison avec une intégrale (sur un segment), majorer
soigneusement le reste :
+∞
X
1
R(N, q) =
·
nq
n=N+1
(b) Déterminer un entier N tel que R(N, 3) 6 ε.
1
.
2. On pose dorénavant, pour p, n ∈ N∗ : u(n, p) =
n(n + 1) · · · (n + p)
P
(a) Montrer que la série
u(n, p) est convergente.
n>1
On note σ(p) la somme de la série : σ(p) =
+∞
X
u(n, p).
n=1
(b) Calculer σ(1).
(c) Pour p > 2 et n ∈ N∗ , exprimer u(n, p − 1) − u(n + 1, p − 1) en fonction de p et u(n, p).
(d) En déduire la valeur de σ(p) pour p > 2.
3. (a) Montrer par récurrence l’existence de trois suites (ap )p>2 , (bp )p>2 et (cp )p>2 d’entiers naturels telles que pour
tout réel x strictement positif et tout entier p > 2 on ait :
X
1
b p x + cp
ak
=
+
.
x3
x3 (x + 1)(x + 2) · · · (x + p)
x(x + 1) · · · (x + k)
p
k=2
On explicitera en particulier les valeurs de ap+1 , bp+1 et cp+1 en fonction de celles de ap , bp , cp et p.
(b) Montrer que pour tout p > 2 : bp > cp > 0.
(c) Calculer ap , bp et cp pour 2 6 p 6 4.
(d) Expliciter, pour p > 2, la valeur de cp ; puis celle de bp à l’aide d’une somme. En déduire un équivalent simple
de bp lorsque p tend vers +∞.
4. (a) Donner un majorant simple de
+∞
X
n=N+1
n3 (n
b 4 n + c4
+ 1) · · · (n + 4)
et montrer, à l’aide de tout ce qui précède (et d’une calculatrice !), comment calculer ζ(3) pour la même valeur
de ε avec une valeur de N moins grande que celle trouvée question 1b.
(b) En utilisant ce qui précède, donner (à l’aide de la calculatrice) une valeur décimale approchée (par défaut) à ε
près de ζ(3).
dimanche  septembre  —  vendémiaire 
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
Mathématiques, MP 933 & 934
R)
Une propriété des hyperplans de Mn (R
Soit n ∈ N un entier, n > 2. On note E = Mn (R) la R-algèbre des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, et
E∗ = L (E, R) le dual de E.
Si M ∈ E, on la notera M = (mij ). On note Eij les matrices élémentaires pour i, j ∈ [ 1 ; n]].
Si M ∈ E, on note T(M) sa trace. On définit ainsi une forme linéaire T ∈ E∗ .
À chaque matrice U ∈ E, on associe :
– l’application TU : E → R définie par M 7→ TU (M) = T(U · M) ;
– l’ensemble HU = {M ∈ E ; T(U · M) = 0}.
L’objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan de E possède au moins une matrice inversible.
I
Quelques résultats utiles pour la suite
I.1. Soient A = (aij ) et B = (bij ) des éléments de E. Montrer que T(A · B) = T(B · A) et que T(tA · B) =
n
n P
P
aij bij .
i=1 j=1
I.2. Soit U une matrice de E.
a) Si U est la matrice nulle, déterminer HU .
b) Dans le cas contraire, montrer que l’on peut trouver un couple d’entiers (i0 , j0 ) tel que TU (Ei0 ,j0 ) 6= 0. En déduire
dim HU .
2
I.3. Pour (i, j) ∈ [ 1 ; n]] , on note Tij = TEij .
a) On se fixe k, ℓ ∈ [ 1 ; n]]. Calculer Tij (Ekℓ ) en utilisant la question I.1.
b) Qu’en déduit-on sur la famille (Tij )(i,j)∈[[1 ; n]]2 ?
I.4. Montrer que l’application ϕ : E −→ E∗ ,
U 7−→ ϕ(U) = TU est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
I.5. On considère un hyperplan vectoriel H de E.
a) Quelle est sa dimension ?
b) Soit A une matrice non nulle, qui n’appartient pas à H. Montrer que E = H ⊕ Vect(A).
c) Construire alors un élément ψ ∈ E∗ tel que H = Ker ψ.
d) Prouver l’existence d’un élément U ∈ E tel que H = HU .
II
Pour tout r ∈ [ 1 ; n]], on note Rr =
r
P
Le résultat général
Eii .
i=1
II.1. On note P = (pij ) la matrice dont les coefficients vérifient pi+1,i = 1 pour i = 1, . . . , n − 1, p1,n = 1 et pij = 0 partout
ailleurs.
a) Montrer que P est inversible.
b) Montrer que P appartient à l’hyperplan HRr pour tout r ∈ [ 1 ; n]].
II.2. En déduire que : Chaque hyperplan vectoriel de E possède au moins une matrice inversible.
Une propriété des hyperplans de Mn (R)
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