Exercices supplémentaires : Matrices Exercices supplémentaires

Exercices supplémentaires : Matrices
Exercice 1
Soit a∈ℝ
Exercices supplémentaires : Matrices
Exercice 1
*
( )
0
1
et A= a
1
a2
2
a
a
0
a
1
a
Soit a∈ℝ
.
0
2
*
( )
0
1
et A= a
1
a2
a
a2
0
a
1
a
0
.
2
1. Montrer que A – A – 2 I =0 .
1. Montrer que A – A – 2 I =0 .
2. En déduire que la matrice A est inversible et donner A
−1
.
{
2. En déduire que la matrice A est inversible et donner A
2 y+4 z=1
1
x+2 z =0
3. Résoudre le système ( S ): 2
.
1
1
x+ y =1
4
2
Exercice 2
Exercice 2
(
)
.
{
2 y+4 z=1
1
x+2 z=0 .
3. Résoudre le système (S ): 2
1
1
x+ y=1
4
2
3 1 −2
On pose A= 0 2 0
1 1 0
−1
(
3 1 −2
On pose A= 0 2 0
1 1 0
.
2
)
.
2
1. Vérifier que A =3 A+2 I 3 .
1. Vérifier que A =3 A+2 I 3 .
2. En déduire que la matrice A est inversible.
2. En déduire que la matrice A est inversible.
3. Démontrer que pour tout entier n, il existe deux nombres
a n et b n tels que
3. Démontrer que pour tout entier n, il existe deux nombres
a n et b n tels que
An =a n A+b n I 3
An =a n A+b n I 3
On donnera les relations de récurrence vérifiées par les suites (a n ) et (b n) .
On donnera les relations de récurrence vérifiées par les suites (a n ) et (b n) .
4. Exprimer le terme général a n , puis b n , en fonction de n.
5. En déduire une formule permettant de calculer A
n
en fonction de n.
4. Exprimer le terme général a n , puis b n , en fonction de n.
5. En déduire une formule permettant de calculer A
n
en fonction de n.