Série1

Ministère de L’Enseignement Supérieur
et de la Recherche Scienti…que UCPOLYTECH
Mathématiques 1
Série 1
Année : ING_GEM1
Exercice 1 :
On considère la matrice A=0
@
16 8 4
0 7 3 11
22 17 1 8
1
A
1. Déterminer le format de A?
2. Donner la valeur de chacun des éléments a14;a23;a33
Exercice 2 :
Distinguer parmi les matrices suivantes celles carrées, nulles, identités, diagonales
et triangulaires :
A=0 0
0 1; B =0
@
0 0
0 0
0 0
1
A; C =0
B
B
@
1000
0100
0010
0001
1
C
C
A; D =0
@
100
030
000
1
A; E =
0 2
0 0; F =0
B
B
@
3 0 0 0
2 1 0 0
1 0 0 0
01 3 1
1
C
C
A
Exercice 3 :
Soit A=0
@
11 2
3 0 1
4 1 3
1
A; B =0 @
1 3 1
220
1 1 1
1
Aet C=AB
1. Calculer M= 2ABet N= 3B+ 5A.
2. Sans calculer le produit matricielle AB; déterminer les coe¢ cients c13 et
c32.
3. Le produit matricielle MNest-il commutatif.
1

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Exercice 4 :
On considère les matrices A;Bet Cdé…nis par A=0
@
1 3
4 2
0 7
1
A; B =0 @
2 0
2 1
8 1
1
A
et C=0
@
4 6
14 7
24 17
1
A
Trouver deux réels xet ytels que xA +yB =C:
Exercice 5 :
Calculer a;b;cet dtels que 1 3
2 8a b c d=I2
Exercice 6 :
Soit a;bet ctrois réels, M=0
@
a2ab ac
ab b2bc
ac bc c2
1
Aet N=I3M
1. Calculer M2en fonction a;b; c et M?
2. On suppose que a2+b2+c2= 1 ; Calculer MN;NM et N2?
Exercice 7 :
Executer les produits suivants lorsque c’est possible. Lorsque c’est impossible,
dire pourquoi.
a. 0
@
2 5
3 6
4 7
1
A2 5
4 6b.2 5 4 60
@
2 5
3 6
4 7
1
A
c. 1450
@
01 6
242
353
1
Ad. 0 @
250
363
412
1
A0 @
11
2 0
3 5
1
A
Exercice 8 :
Dans chacun des cas, calculer les produits ABet BA: Quelle particularité
présente t-il ?
a. A=612
3 6 et B=12 6 6 3
2

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b. A=2 4
12et B=0 2 01
Exercice 9 :
On considère la matrice A=x1
2 3où xest un réel. Déterminer xpour que
A2=6 1
2 11:
Exercice 10 :
Soient les matrices N=0
@
001
001
000
1
AA=I3+Net I3la matrice identité.
1. Démontrer que Nest nilpotente et déterminer son degré de nilpotence ?
2. Démontrer que Net I3commutent ?
3. En déduire alors, An?
Exercice 11 :
Indiquer la nature de chaque matrice : symétrique et antisymétrique :
D=0
@
1 0 5
012
52 0
1
A; E =0 2
2 4; D =0
@
042
4 0 5
2 5 0
1
A
Exercice 12 :
Donner la matriceAtelle que pour tout 1i3et 1j3, les termes aij
sont donnés par aij = 2ij:En déduire sa transposée et sa trace ?
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