corrige qcm

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Chambre de Commerce
et d’Industrie de Paris
CORRIGE QCM
MA102
Algèbre linéaire
Feuille : 1/3
2004/2005
09/05/05
Remis par : Y. Goldman et C. Ostier
Question I
(A) Vrai
Par définition le rang d’une matrice échelonnée est le nombre de pivots de cette matrice.
Si U échelonnée a r pivots, les r premières lignes de U sont non nulles et les n - r suivantes
sont nulles.
(B) Faux
1 0 1
0 1 1
est une matrice échelonnée réduite de rang 2 ayant 3 colonnes non nulles.
(C) Vrai
3
I
s’obtient à partir de
3 1 0
0 2 7
0 0 2
par élimination ascendante après « normalisation » des
pivots. (2ème phase de l’algorithme de Gauss-Jordan)
Plus généralement, toute matrice
nn
de rang n admet
n
I
pour échelonnée réduite.
(D) Vrai
0 1 1
2 2 1
2 2 1
1 1 1
2 2 1
0 1 1
2 2 1
1 1 1
2 2 1
0 1 1
0 0 2
1
0 0 2
2 2 1
0 1 1
0 0 2
0 0 0
(E) Faux
En général, la transposée d’une échelonnée n’est pas une matrice échelonnée
1 1 1 0
donne
0 1 1 1
T
UU
R O U P E G

2
Question II
(A) Faux
C’est vrai lorsque le système linéaire est homogène, car alors il est consistant mais le système
1 2 3
1 2 3
0
2 2 2 1
x x x
x x x
a plus d’inconnues que d’équations mais aucune solution.
(B) Faux
12
12
12
1
2 2 2
3 3 3
xx
xx
xx
est un système consistant avec plus d’équations que d’inconnues et une infinité de
solutions.
(C) Faux
Le système
1
2
12
1
2
2
x
x
xx
a une solution unique.
Par contre si « nb. lignes de
A
nb. colonnes de
A
nb. pivots » , alors, pour tout b , le système
a une solution unique car
1) il est consistant ( nb. contraintes = nb. lignes – nb. pivots = 0 )
2) il n’y a pas d’inconnues secondaires ( nb. inconnues secondaires = nb. colonnes – nb. pivots = 0 )
(D) Vrai
Pour que le système
Ax b
n’ait pas de solution, il faut que b soit soumis à une contrainte au
moins et qu’il ne la (les) vérifie pas.
(E) Vrai
Il suffit de prendre pour b une combinaison linéaire de colonnes de A ou encore plus simple une
des colonnes de A .
Question III
(A) Faux
La solution générale à 4 composantes donc A a 4 colonnes. Mais on n’a aucune information sur b
donc sur le nb. lignes de A .
Cependant, comme il y a 2 inconnues principales, une échelonnée de A a 2 pivots et A a donc au
moins 2 lignes.
De
12
3 2 4
12
2
xx
x x x
on tire
1 2 0 0 1
et
0 2 1 1 0
Ab
.

3
(B) Faux
Dans le contre exemple du (A) les colonnes-pivots sont les colonnes 1 et 2 .
(C) Vrai
Notons
24
1 2 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
x x x
et
24
1 2 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
x x x
Il vient
4
0A x x Ax Ax
avec
2 2 4 4
2 0
1 0
01
0 1
x x x x x x
D’où la solution générale du système homogène
4
0Ax 
puisque
2244
,,,xxxx
sont des réels
quelconques.
(D) Vrai
1
0
0
0
est une solution particulière de
Ax b
. Or
1
1
0
0
0
A col A
.
(E) Vrai
D’après (C) , pour
24
0 et 1xx
4
0
0 0
1
1
A
. Or
0
0
1
1
A
34
col A col A
.
Question IV
(A) Faux
car
2A x y Ax Ay b   
.
(B) Vrai
1
n
ii
i
Ax x col A
d’où
1
nT
TT ii
i
x A x col A
11
nn
TT
i i i i
ii
x col A x lig A
.
(C) Faux
10 1 1 2 2
1 0 3 4 4
col 
( La bonne formule est
1
n
j i j j
i
col AB b col A
).

4
(D) Vrai
Par récurrence sur k.
Pour
2
1
2n
ij ji
ii j
k T t t
Comme T est triangulaire, disons supérieure,
,0
lk
l k t  
. D’où
122
1 1 1
n i n
ij ji ij ji ii ij ji ii
j j j i
t t t t t t t t
En effet, dans la 1ère somme, les
ji
t
sont nuls, dans la seconde, ce sont les
ij
t
.
Hypothèse de récurrence :
11kk
ii
ii
Tt
.
D’où
1
1 1 1 1
1 1 1
n i n
k k k k k k
ij ij ii ii ij ii
ii ji ji ji
j j j i
T t T t T t t t T t
par le même
argument que pour
2k
car le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice
triangulaire supérieure. Donc,
1k
T
est aussi une matrice triangulaire supérieure.
( exercice B.3 de la feuille n° 2)
(E) Faux
1 1 1 1 2 3
1 1 1 2 0 1
(mais le produit de deux matrices triangulaires supérieures est bien une matrice triangulaire
supérieure)
Question V
(A) Faux
1 2
1 2 1 14
1 0
30 1
21 2 2
2
(B) Faux
Seules des matrices carrées possèdent un inverse.
(C) Vrai
U échelonnée réduite inversible est forcément carrée. Son rang est égal à son nombre de lignes et à
son nombre de colonnes. Ce ne peut donc être que l’identité.

5
(D) Faux
Si
1
1 2 3 2
alors
2 3 2 1
AA
.
1 2
01
U
est une échelonnée de
1
et A U U
.
1
U
ne peut être une échelonnée de
1
A
car la première ligne d’une échelonnée de
1
A
avant
normalisation ne peut être que
3 2 ou 2 1
.
Après normalisation, on obtient
21
1 ou 1
32
.
(E) Vrai
Une matrice
nn
est de rang n si et seulement si elle est inversible.
Le produit de deux matrices inversibles est inversible, donc le produit de deux matrices de rang n
est une matrice de rang n .