Td1

Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Td 1 : Formes linéaires, Hyperplans, Dualité
Algèbre Semestre 4
Exercice 1
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Rn−1est-il un hyperplan de Rn? Donner la forme générale des formes linéaires sur Rn, en déduire
une caractérisation de ses hyperplans.
2. Rn−1[X]est-il un hyperplan de Rn[X]? Si oui, en donner tous ses supplémentaires.
Exercice 2
Dans E=R5, muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3, e4, e5), on considère :
F=Vect(u, v, w, t)où : u= (1,0,2,0,3); v= (2,0,1,0,−1); w= (−1,0,1,0,2); t= (−1,0,4,0,9).
Par la méthode d’échelonnement, déterminer :
— le rang de la famille (u, v, w, t)
— une base de F, sa dimension, l’un de ses supplémentaires dans Eet l’un de ses systèmes d’équations.
Exercice 3
Dans E=R4, muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3, e4), on considère :
F={(x, y, z, t)∈E|x+y−z−t= 0}.
Justifier que Fest un hyperplan de E, en déduire sa dimension, puis en donner une base,
toutes ses équations et tous ses supplémentaires dans E.
Exercice 4
Dans E=R2[X], on considère : F={P∈E|P(1) + P0(0) = 0}.
Justifier que Fest un hyperplan de E, en déduire sa dimension, puis en donner une base,
toutes ses équations et tous ses supplémentaires dans E.
Exercice 5
Dans Eun K- espace vectoriel de dimension finie n, où n∈N∗, on considère deux vecteurs distincts
uet vde E. Construire une forme linéaire ϕsur Etelle que : ϕ(u)6=ϕ(v).
[Indication : Compléter e1=u−ven une base Bde E.]
Exercice 6
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n,n∈N∗.
1. Soient H1et H2deux hyperplans de E, discuter la dimension de H1∩H2. Plus généralement, si
Fest un s-ev de E, discuter la dimension de H1∩F.
2. Soient Hi= ker ϕi, où 16i63et ϕi∈E∗\{0}, trois hyperplans de E. Discuter suivant le
rang rde (ϕ1, ϕ2, ϕ3)la dimension de H1∩H2∩H3. Interpréter géométriquement les résultats
pour n= 3.
3. Si H1, H2, ..., Hpsont phyperplans de E, prouver que : dim(H1∩H2∩... ∩Hp)>n−p.
4. Soient Hun hyperplan et uun vecteur de E\H.
Prouver que l’on peut construire une base de Econtenant uet aucun vecteur de H.

Exercice 7
Dans E=R3, muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3), on considère :
u1=e2+e3,u2=e2−e3et u3=e1+e2−2e3.
1. Justifier que B= (u1, u2, u3)est une base de Eet déterminer sa base duale B∗. En déduire la
matrice de passage Qde BàB0.
2. On pose F=Vect(u1, u2). Justifier que Fest un hyperplan de R3et déterminer l’une de
ses équations.
3. Déterminer un système d’équations de G=Vect(u3).
Exercice 8
Sur E=R3[X], on considère les cinq formes linéaires φ1,φ2,φ3,φ4et ψdéfinies par :
φ1(P) = P(0), φ2(P) = P0(0), φ3(P) = P(1), φ4(P) = P0(1) et ψ(P) = Z1
0
P(t)dt.
1. Prouver que (φ1, φ2, φ3, φ4)est une base de E∗et déterminer sa base préduale (H1, H2, H3, H4).
2. Déterminer le quadruplet (a, b, c, d)de R4tel que : ψ=aφ1+bφ2+cφ3+dφ4.
Exercice 9
Dans E=R5, muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3, e4, e5). On considère l’ensemble F1des
vecteurs (x, y, z, t, u)de Evérifiant
x+ 2y+ 3z+ 4t+ 5u= 0
x+y+z+t+u= 0
5x+ 4y+ 3z+ 2t+u= 0
.
1. Justifier que F1est un s.e.v de Eet que 26dim(F)64.
2. Les vecteurs u= (6,−9,1,1,1) et v= (2,−1,1,−2,1) appartiennent-ils à F1?
3. Déterminer une base de F1, en déduire sa dimension.
4. Déterminer un supplémentaire G1de F1dans E, en donner un système d’équations.
5. On pose F2=Vect(e1, e2). Déterminer F1∩F2.
Exercice 10
On se propose de prouver que pour toute forme linéaire ϕsur Mn(K)existe une unique matrice A
de Mn(K)telle que : ∀X∈ Mn(K), ϕ(X) = tr(AX).
1. Soit A∈ Mn(K). Justifier que l’application ϕAde Mn(K)dans Kdéfinie par : ϕA(X) = tr(AX)
est une forme linéaire sur Mn(K).
2. On note φl’application de Mn(K)dans son dual définie par : φ(A) = ϕA.
(a) Justifier la linéarité de φ.
(b) Montrer que ker(φ) = {On}.[Indication : Calculer ϕA(Eij )voir Td 0.]
(c) En déduire que φest un isomorphisme, puis conclure (c’est-à-dire : décrire (Mn(K))∗).
Exercice 11
Soit Aune partie du K-espace vectoriel E, on appelle annulateur de Ala partie A0de E∗définie par :
A0={ϕ∈E∗/∀u∈A, ϕ(u)=0}.
1. Déterminer {0E}0et E0.
2. Prouver que si A1⊂A2⊂E, alors A0
2⊂A0 1⊂E∗.
3. Prouver que A0est un s.e.v de E∗et que A0= (VectA)0.
4. Prouver que si Eest de dimension finie, alors, pour tout s.e.v Fde Eon a
dim(F) + dim(F0) = dim(E).
[Indication : Compléter une base de Fen une base Bde Eet utiliser sa base duale B∗.]