Agrégation externe de Mathématiques

Agrégation externe de Mathématiques
TD: Réduction, Endomorphismes nilpotents et compléments
E. AUBRY
Références:
J.-M. Arnaudiès, J. Bertin Groupes, algèbres et géométrie,
J. Fresnel Algèbre des matrices,
X. Gourdon Les Maths en tête, Algèbre,
E. Leichtnam Exercices de mathématiques, Algèbre et géométrie,
H. Roudier Algèbre linéaire.
Exercice 1
Combien de solutions l'équation
Exercice 2
Soit
éventuellement
u ∈ L(E) dont
λi = λj ). Montrer
χP (u) =
d
Y
X − P (λi )


1 0 0
M 2 = 2 4 0
3 0 9
le polynôme caractéristique
que pour tout
P ∈ K[X]
a-t-elle dans
χu =
i=1
Qn
i=1 (X
− λi )
est scindé (avec
on a les relations suivantes
n
X
tr P (u) =
P (λi )
M3 (R)?
det P (u) =
i=1
n
Y
P (λi ).
i=1
En déduire le déterminant et le polynôme caractéristique d'un matrice circulante

a1
a2

an



a2
a1
..
···
.
..
.
..
.
an
an





a2 
a1
Exercice 3
que
Soit A1 , · · · , An des matrices nilpotentes de Mn (K) commutant
A1 × · · · × An = 0. Est-ce encore vrai si les matrices ne commutent pas?
Exercice 4
Soit
Exercice 5
Montrer
Mn (C) et p ∈ Z∗ . Montrer qu'il existe une matrice
= A. Montrer qu'il existe B ∈ Mn (C) telle que A = eB . A-t-on la même
inversible? dans Mn (R)?
une matrice inversible de
p
telle que B
B ∈ Mn (C)
A
propriété si
A
deux à deux.
n'est pas
Soit
M
une matrice symétrique réelle de taille. Montrer que l'application
F : Rn \ {0} → R
P
X 7→
atteint son maximum en un point
vecteur propre. Montrer que
M
v
de
Sn−1 .
Calculer
n
i,j=1 Mij Xi Xj
Pn
2
i=1 Xi
dv F
et en déduire que
est diagonalisable dans une base orthonormée.
1
M
admet au moins un
Exercice 6
Soit
E, h·, ·i
u ∈ O(E). Montrer que E se décompose en somme
E1 (u) et E−1 (u) et de plans stables par u (on pourra
une BON de E dans laquelle la matrice de u est de la
un espace euclidien et
directe orthogonale des sous-apespaces propres
considérer
u + u−1 ).
En déduire qu'il existe
forme:

Ip
0
···
···

..
 0 −Iq
.

 .. . .
.
.
.
R(θ1 ) . .

 ..
..
..
.
.
.
0 ···
···
0
où
cos θ − sin θ
R(θ) =
.
sin θ cos θ
En déduire que
0

.
.
.




.
.

.


0 
R(θk )
SO(E) est compact et connexe par arcs
est compact et admet deux composantes connexes homéomorphes.
2
et que
O(E)