Nombres Complexes

Nombres Complexes
Pré-requis :
– Maîtriser la forme algébrique
– Géométrie du Triangle (trigonométrie)
– Savoir résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues
Objectifs :
– Savoir démontrer l’inégalité triangulaire
– Maîtriser la forme exponentielle
– Calculer les racines d’un nombre complexe
– Racines énièmes de l’unité
– Linéariser, développer une expression trigonométrique
– Approcher la notion d’ensemble image
– Approcher la notion de bijection
– Connaître, savoir déterminer et savoir exploiter,
l’écriture complexe d’une Translation, d’une Rotation et d’une Similitude Directe
1. Motivations - Contexte historique : Introduction des nombres
complexes
Quand une résolution ne donne pas tous les résultats espérés...
Une technique pour résoudre une équation du troisième degré consiste à en déterminer une solution évidente α.
Cela permet de factoriser par x − α le polynôme de degré trois et de finir la résolution en calculant le discriminant
d’un polynôme de degré 2.
a) Résolvez, selon la méthode exposée ci-dessus, l’équation x3 + 2 x2 − 4 x + 1 = 0
Dans son traité « Ars Magna »(1545), Cardan établit une méthode pour trouver une solution aux équations du
³ q ´2 ³ p ´3
troisième degré. Il se ramène aux équations de la forme x3 = px + q et démontre que si le nombre d =
−
2
3
r
r
q p
q p
3
3
est positif ou nul, l’équation admet pour solution le nombre :
+ d+
− d.
2
2
b) En utilisant cette méthode, déterminez une solution de l’équation x3 = 9 x + 28. Vérifiez que la solution obtenue
est bien solution de l’équation.
c) Cardan essaye sa méthode sur l’équation (E ) : x3 = 15 x + 4. Calculez, pour l’équation (E ), le nombre d =
³ q ´2 ³ p ´3
−
. Quel est son signe ? Peut-on utiliser la méthode de Cardan ? Vérifiez que l’équation (E ) admet
2
3
néanmoins 4 pour solution.
Bombelli utilise des « nombres impossibles »
En 1575, Bombelli décide d’utiliser la méthode de Cardan en écrivant une « racine carrée qui a [...] un nom et une
p
opération différents des autres ». Autrement dit, il s’autorise l’écriture de −121, sans chercher à donner un sens
à ce nombre mais pour l’utiliser comme un outil de calcul.
p
a) Vérifiez, que si l’on acceptep
d’écrire le « nombre
impossible » −121, la solution de l’équation
p
p
p
3
3
(E ) : x3 = 15 x + 4 s’écrit : 2 + 11 −1 + 2 − 11 −1. Avec ce « nombre impossible », Bombelli poursuit son
calcul et vérifie que la méthode de Cardan reste valable puisqu’elle permet de trouver une solution réelle de
l’équation.
p
p
p
b) Vérifiez, à partir du développement de
(a + b)3 et de
(a − b)3 que (2 + −1)3 = 2 + 11 −1 et que (2 − −1)3 =
p
p
p
p
p
3
3
2 − 11 −1. Déduisez-en la valeur de 2 + 11 −1 + 2 − 11 −1. Que représente le résultat obtenu ?
1
2
Du « nombre impossible »au « nombre imaginaire » : quelques précautions à prendre...
Les mathématiciens vont s’habituer à utiliser ces nombres impossibles dans le cas où ils permettent de trouver
des solutions réelles à une équation. C’est Descartes qui leur donne le nom « nombres imaginaires ».
p
En 1746, D’Alembert démontre que tous ces nombres peuvent s’écrire sous la forme a + b −1, où a et b sont deux
p
nombres réels. Mais on ne gardera pas la notation utilisant −1. Voici pourquoi :
p
p
a) Recopiez et complétez : « En utilisant la propriété ( a)2 = a, on aurait ( −1)2 = . . . »
p
p p
p p
b) Recopiez et complétez : « En utilisant la propriété a b = ab, on aurait −1 −1 = . . . »
c) Que conclure ?
Euler, en 1777, définit une notation pour le nombre imaginaire dont le carré est −1 : i ( i comme imaginaire). C’est
cette notation que nous utiliserons.
2. Définition des nombres complexes
Les nombres complexes sont les nombres de la forme z = x + i y, où x, y ∈ R, et i est imaginaire.
Les opérations d’addition et de multiplication (notées z + z0 et zz0 ou bien z × z0 , ou encore z · z0 ) sont définies de
manière naturelle, compte tenu de la relation i2 = −1 .
Ceci veut dire que
1. ( x + i y) + ( x0 + i y0 ) = ( x + x0 ) + i( y + y0 ) ;
2. ( x + i y)( x0 + i y0 ) = ( xx0 − yy0 ) + i( x y0 + yx0 ).
L’ensemble des nombres complexes est noté C.
On vérifie immédiatement que ces opérations (on dit aussi des lois de composition) ont, comme pour les nombres
réels, les propriétés suivantes
1. Elles sont associatives : pour tout triplet de complexes ( z, z0 , z00 ), on a ( z + z0 ) + z00 = z + ( z0 + z00 ) et ( zz) z00 =
z( z0 z00 ).
2. Elles sont commutatives : pour tout couples de complexes ( z, z0 ), on a z + z0 = z0 + z et zz0 = z0 z.
3. La multiplication est distributive par rapport à l’addition : pour tout triplet de complexes ( z, z0 , z00 ), on a
z( z0 + z00 ) = zz0 + zz00 .
4. Le nombre complexe 0 := 0 + i0 est élément neutre pour l’addition : pour tout couple z ∈ C, on a z + 0 = z. De
plus si z = x + i y est un nombre complexe, alors le nombre complexe − z := − x + i(− y) est son opposé, c’est à
dire z + (− z) = 0.
Remarque
Lorsqu’un ensemble E est muni d’une loi de composition interne ~ qui est associative, qui possède un élément
neutre et dont chaque élément de l’ensemble possède un élément symétrique, on dit que (E, ~) est un groupe.
Exercice 1
a) On vient de voir que 0 est l’élément neutre pour l’addition. Y-a-t-il un élément neutre pour la multiplication ? Lequel ?
b) On a aussi vu que l’opposé du nombre complexe z = x + i y est − z = − x − i y car z + (− z) = 0. Que serait
l’inverse du nombre complexe z ? Existe-t-il ? Quelle est son expression ?
L’inverse d’un nombre complexe z non nul tel qu’il est défini dans l’exercice 1 se notre z−1 ou bien 1z , comme pour
les nombres réels.
Remarque
L’existence d’un inverse a une conséquence importante. Le produit de deux nombres complexes non nuls n’est
jamais nul. Démontrons le par l’absurde :
Supposons par l’absurde que z et z0 sont deux nombres complexes tous deux non nuls tels que zz0 = 0. Comme
3
z0 6= 0, en multipliant les deux membres par 1/ z0 , on obtient
z = z.1 = z( z0
1
1
1
) = ( zz0 ) 0 = 0. 0 = 0,
z0
z
z
et donc z = 0 ce qui est absurde.
Conclusion : on ne peut pas trouver deux nombres complexes tous deux non nuls tels que leur produit soit
nul.
L’écriture d’un nombre complexe sous la forme z = x + i y est unique, ce qui veut dire que si z = x + i y = x0 + i y0 avec
x, x0 , y, y0 réels, alors x = x0 et y = y0 . En effet si on écrit
( x + i y) − ( x0 + i y0 ) = 0 = ( x − x0 ) + i( y − y0 ),
alors on voit que x − x0 = y − y0 = 0 et donc x = x0 et y = y0 .
Attention : cette propriété d’écriture unique n’est valable que si l’on suppose que les quatre nombres x, x0 , y, y0 sont
réels. Ainsi yi = −1 avec y = i, mais −1 = −1 + i0, et yi = 0 + i y, mais ceci n’entraîne pas que y = 0 et −1 = 0. Oublier
de vérifier que x, x0 , y, y0 sont réels dans l’écriture d’unicité est source de nombreuses erreurs.
3. La conjugaison et le module
Lorsque qu’on a un nombre complexe z = x + i y, avec x et y réels, on lui associe son conjugué z̄ = x − i y.
z
i
0
1
z̄
On a les propriété suivantes
z + z̄
. On appelle x la partie réelle de z et on la note Re( z).
2
z − z̄
2. z − z̄ est imaginaire pur, et y = − i
. On appelle y la partie imaginaire de z et on la note Im( z). Atten2
tion : Im( z) est un nombre réel. Ainsi z = Re( z) + i Im( z).
1. z + z̄ est réel. De plus, x =
3. Si Im( z) = 0, z est réel. On dit qu’il est imaginaire pur si Re( z) = 0.
p
p
positif. Sa racine carrée z z̄ = x2 + y2
4. Si z = x + i y, x, y ∈ R, alors z z̄ = x2 + y2 . C’est toujours un nombre réel
p
s’appelle le module du nombre z et sera notée | z|. Ainsi on a | z| = x2 + y2 . On a bien sûr | z| = | z̄|.
Remarquons que si z = x + i0 est réel, alors | z| = | x| (ici | x| est la valeur absolue du nombre réel x), et si
z = 0 + i y est imaginaire pur, alors | z| = | y|.
5. z = 0 ⇐⇒ z̄ = 0 ⇐⇒ z z̄ = 0.
6. Pour un complexe non nul z, l’inverse de z est z−1
z̄
z̄
1
=
= .
| z|2 z z̄ z
z + z̄
7. Le conjugué de z = x + i y est le nombre complexe z̄ = x − i y. En particulier on a Re( z) = x =
et
2
z − z̄
Im( z) = y =
.
2i
8. Un nombre complexe z est réel si et seulement z = z̄. Un nombre complexe z est imaginaire pur si et
seulement si z = − z̄.
z
z
9. ( z + z0 ) = z̄ + z̄0 , zz0 = z.z0 , ∀ n ∈ N, z n = ( z)n . Si de plus z0 6= 0 alors 0 = .
z
z0
4
Exercice 2
Démontrez que z = 0 ⇐⇒ z̄ = 0 ⇐⇒ z z̄ = 0.
Exercice 3
1. À l’aide du carré de la valeur absolue de z, calculer l’inverse de z.
Indication : utiliser les quantités conjuguées.
2. Calculer l’inverse de z = 2 − i et faire la division de z0 = 5 + 2i par z.
Exercice 4
Écrivez sous la forme algébrique les nombres complexes suivants :
z1 = (3 + 2 i )(−2 + i ) +
5 + 3i
5− i
z2 = (−2 + 2 i )2 +
5
i−8
z 3 = ( x + i y )2 ×
1− i
avec x, y ∈ R
2x + i y + 1
4. Plan complexe d’Argand-Cauchy
4.1. Coordonnées cartésiennes
Pour définir un nombre complexe, nous avons vu qu’il suffit de se donner ses parties réelles et imaginaires x et
y, de telle façon que z = x + i y. On peut donc le représenter par un point de R2 , c’est à dire un point du plan, ou
−
−v ), on peut associer à ce nombre complexe le point
encore un vecteur. Si on se donne un plan P et un repère (O, →
u ,→
de coordonnées ( x, y). Par exemple, 0 sera le point (0, 0), c’est à dire l’origine du repère O , et 1 sera le point de
coordonnées (1, 0), i le point de coordonnées (0, 1). Réciproquement, à un point M du plan de coordonnées ( x, y) on
−−→
lui fait correspondre le nombre complexe x + i y, qu’on appelle l’affixe de M (ou encore affixe de OM ), et qu’on note
−→ . On établit ainsi une "correspondance" 1 entre C et le plan P . Si on veut faire la distinction entre le
z M ou z−
OM
nombre complexe z et le point M qui lui correspond, on appellera [ z] le point M dont l’affixe est z.
Un plan P , muni d’un repère orthonormé direct 2 , en bijection 3 avec les nombres complexes, s’appelle un un plan
d’Argand-Cauchy.
iR
iR
a + ib
b
i
0
z
Im( z)
i
1
a
R
0
1
Re( z)
R
Exercice 5
1+ i
.
1− i
2. On donne ci-dessous le plan d’Argand-Cauchy où sont représentés les points d’affixes z et z0 . Placez
précisément les points d’affixes − z, z̄, z + z0 , z − z0 .
1. Placez dans un plan d’Argand-Cauchy les points d’affixes 1 + 3 i ; −2 + 3 i ; −1 − i et
1. En mathématiques, ce type de correspondance s’appelle une bijection : c’est une application qui à tout élément de son ensemble d’arrivée
associe un et un seul antécédent.
−
−v ) est direct si la mesure principale de l’angle (→
−
−v ) est positive.
2. Un repère (O, →
u ,→
u ,→
3. C’est à dire qu’à chaque nombre complexe, il correspond un unique point du plan et réciproquement. On reviendra sur cette définition en
fin de chapitre.
5
iR
z0
i
0
z
R
1
Proposition 1
Si A et B ont pour affixes z A et zB . Alors :
−−→
• le vecteur AB a pour affixe zB − z A
z A + zB
2
~ et w
~ 0 les vecteurs d’affixes z et z0 et λ ∈ R. Alors :
• Soit w
• le milieu I de [ AB] a pour affixe z I =
~ +w
~ 0 a pour affixe z + z0
a) w
~ a pour affixe λ z
b) λw
Ainsi l’addition complexe correspond à l’addition vectorielle, la multiplication par un nombre réel d’un nombre
complexe correspond donc à la multiplication d’un vecteur par un scalaire, le milieu à la moyenne... bref les choses
se passent plutôt bien.
Exercice 6
¢ ¡
¢
¡
¢
¡
Soit A (−1 − i ), B 2 − 21 i , C 52 + i et D 21 (−1 + i ) quatre points.
Démontrez d’au moins deux façons différentes que ABCD est un parallélogramme.
Remarque 1
p
−−→
Le théorème de Pythagore nous dit que la longueur du vecteur OM de coordonnées (a, b) est a2 + b2 : on
voit donc que le module | z| n’est rien d’autre que la longueur du vecteur d’affixe z.
M
|~
u| = | z| = OM
~
u
O
a
z = a + ib
b
6
Proposition 2. Propriétés relatives aux modules
Soit z1 et z2 des nombres complexes. Alors :
• | z1 | = | z1 | et | z1 | = | − z1 |
• | z1 z2 | = | z1 | × | z2 | et plus généralement ∀ n ∈ N, | z1n | = | z1 |n
Si de plus z2¯ est¯ non nul alors :
¯ ¯
¯1¯
1
| z1 | ¯¯ z1 ¯¯
¯
¯
•
=
et plus généralement
=
|z | ¯ z ¯
|z | ¯ z ¯
2
2
2
2
Démonstration
A titre d’exemple, donnons la preuve de | z1 z2 | = | z1 | × | z2 |.
| z1 z2 |2 = z1 z2 (z1 z2 ) = z1 z2 ( z̄1 z̄2 ) = (z1 z̄1 )(z2 z̄2 ) = | z1 |2 || z2 |2 = (| z1 || z2 |)2 .
Exercice 7
Finissez la démonstration de la propriété précédente.
Proposition 3. Inégalité Triangulaire
Pour tout couple ( z1 , z2 ) de nombres complexes, on a
1. | z1 + z2 | É | z1 | + | z2 | (inégalité triangulaire)
iR
z + z0
z0
i
0
z
1
R
2. Si | z1 + z2 | = | z1 |+| z2 |, soit l’un des complexes z1 ou z2 est nul, soit il existe un réel a > 0 tel que z1 = az2 .
Démonstration
Pour le premier point,
1. si z1 = 0 l’inégalité est vérifiée
q
q
2. si z1 = 1, on pose z = x + i y ainsi | z1 + z1 | = (x + 1)2 + y2 et | z1 |+| z2 | = 1 + x2 + y2 . On compare alors les carrés
de ces deux quantités :
| z1 + z1 |2 = (x + 1)2 + y2 = 1 + x2 + y2 + 2x
q
(| z1 | + | z2 |)2 = 1 + x2 + y2 + 2 x2 + y2
q
Or x2 + y2 Ê x donc (| z1 | + | z2 |)2 Ê | z1 + z1 |2 et comme ces quantités sont positives, | z1 + z2 | É | z1 | + | z2 |.
3. Cas général z1¯ 6= 0. On
¯ se ramène alors au cas où z1 = 1 :
|z
¯
z ¯
| z1 + z2 | = | z1 | ¯1 + z2 ¯ É | z1 |(1 + | z | | = | z1 | + | z2 |
1
2
Il reste à voir le second point, nous pouvons supposer que ni z1 ni z2 ne sont nuls, et que | z1 + z2 | = | z1 |+| z2 |. Montrons
d’abord qu’alors il existe un réel a Ê 0 tel que z0 = az. Reprenons la démonstration précédente :
q
1. si z1 = 1 et z2 = x + i y alors le cas d’égalité se produit si et seulement si x = x2 + y2 ⇔ y = 0 et x > 0. Dans ce
cas, z2 = x = a × 1 avec a = x > 0.
¯ ¯
¯
¯
¯ z1 ¯
z1
¯
z ¯
2. cas général | z1 + z2 | = | z1 | + | z2 | ⇔ ¯1 + z2 ¯ = 1 + ¯¯ ¯¯ ⇔
= a × 1 avec a > 0 d’après le cas précédent. Conclusion
1
z2
z2
z1 = az2 avec a > 0.
7
Corollaire 1. Deuxième inégalité triangulaire
Pour tous z1 , z2 ∈ C, on a :
¯
¯
¯| z 1 | − | z 2 | ¯ É | z 1 − z 2 | .
Démonstration
Il suffit de démontrer que | z1 | − | z2 | É | z1 − z2 | et que | z2 | − | z1 | É | z1 − z2 |. Pour la première, on se ramène à | z1 | É
| z1 − z2 | + | z2 |, ce qui est une conséquence de la première inégalité triangulaire appliquée à z = z1 − z2 , et z0 = z2 . La
seconde se déduit de la première en échangeant z1 et z2 .
4.2. Coordonnées Polaires
Introduisons quelques notations qui nous seront utiles par la suite.
Soient z0 ∈ C et r > 0.
◦
déf
• Le disque ouvert de centre z0 et de rayon r est l’ensemble D ( z0 , r ) = { z ∈ C | | z − z0 | < r } .
déf
• Le disque fermé de centre z0 et de rayon r est l’ensemble D ( z0 , r ) = { z ∈ C | | z − z0 | É r } .
déf
• Le cercle de centre z0 et de rayon r est l’ensemble ∂D ( z0 , r ) = { z ∈ C | | z − z0 | = r } .
• Le cercle de centre 0 et de rayon 1 a une importance particulière, il s’appelle le cercle unité et sera noté
déf
U = { z ∈ C | | z| = 1 } .
Exercice 8
◦
a) Représentez dans un plan d’Argand-Cauchy les ensembles D (−5, 3) ; D (3 i, 2) et ∂D (2 + 3 i, 1)
b) Démontrez que le cercle unité U est stable par multiplication, c’est à dire que si z1 , z2 ∈ U alors z1 z2 ∈ U.
c) Est-ce que U est stable par conjugaison, par inversion, par addition ?
d) Démontrez que tout nombre complexe non nul z s’écrit de façon unique z = ru avec u ∈ U et r ∈ R+∗ .
Cette écriture de nombres complexes non nuls pourra être appliquée au calcul de produits si on a une forme
convenable pour des éléments du cercle unité U et une façon simple pour calculer leurs produits. C’est ce que nous
allons voir dans la suite.
Pour cela, on admet que tout nombre complexe u ∈ U peut s’écrire sous la forme cos(θ ) + isin(θ ) avec θ ∈ R. Pour
vous convaincre de ce fait, je vous invite à illustrer cette égalité à partir d’un point choisi au hasard sur le cercle
U.
L’expression cos(θ ) + isin(θ ) est appelée la forme trigonométrique de u ∈ U.
De manière plus générale, comme tout nombre complexe non nul z s’écrit de façon unique z = ru avec r ∈ R+ et
u ∈ U, la forme trigonométrique de z est donnée par z = r ( cos(θ ) + i sin(θ )) où r = | z| > 0.
Exercice 9
Proposition 4. Rappel
∀θ , θ 0 ∈ R, cos(θ + θ 0 ) = cos θ cos θ 0 − sin θ sin θ 0
∀θ , θ 0 ∈ R, sin(θ + θ 0 ) = cos θ sin θ 0 + sin θ cos θ 0
Soit f la fonction définie sur R par f (θ ) = cos(θ ) + isin(θ ).
a) Calculez f (θ + θ 0 ) ; f (θ ) f (θ 0 ). Que remarquez-vous ?
b) Proposez une dérivée pour f . Exprimez ce résultat de la façon la plus simple possible. Que remarquezvous ?
c) Remarquez-vous des formules déjà vues ? Lesquelles ?
8
Définition 1
déf
Nous poserons eiθ = cos θ + i sin θ ,
C’est donc toujours un nombre complexe de module 1 (lorsque θ est réel). Ainsi, la formule précédente devient :
Théorème 1. Formule de Moivre
0
ei(θ+θ ) = eiθ eiθ
0
qui est identique à la formule correspondante pour la fonction exponentielle
0
0
e x+ x = e x e x .
Exercice 10
p
1. Écrivez sous la forme exponentielle les nombres complexes suivants : z1 = 1 + i 3 ; z2 = 3 − 3 i ; z3 = −4 i
p
et z4 = −1 − i 3.
2. Calculez les produits suivants : z1 z2 ; z2 z3 ; z1 z2 z3 z4 .
A partir de la définition, les formules suivantes sont immédiates
Proposition 5
On a pour tout θ ∈ R :
1. e−iθ est l’inverse de eiθ
2. ∀ n ∈ Z, ( e iθ ) n = e inθ
3. e2iπ = 1 et de même e2ikπ = 1 pour tout k ∈ Z
4. eiθ = 1 si et seulement si θ = 2 kπ pour un certain k ∈ Z
5. e2iπ = 1, eiπ = −1, eiπ/2 = i, e3iπ/2 = −i
p
p
3
3 iπ/4
1
1 iπ/3 1
1
iπ/6
6. e
=
+i , e
= +i
,e
= p +ip .
2
2
2
2
2
2
En particulier, il est indispensable de connaître (ou savoir retrouver sans hésitation) les valeurs présentes sur le
cercle suivant :
y
p ´
³
− 12 , 23
p ´
³ p
− 22 , 22
³ p
´
− 23 , 12
ei
5π
ei 6
(−1, 0)
e iπ
e´
³ p
− 23 , − 12
3π
4
e
i 23π
120◦
135◦
150◦
(0, 1)
π
ei 2
90◦
e
30◦
360
0◦ ◦ e i2π
180◦
i 76π
210◦
225◦
240◦
5π
ei 4
p ´ i 4π
³ p
e 3
− 22 , − 22
p ´
³
− 12 , − 23
p ´
1, 3
2 2
³p p ´
2
2
2 , 2
iπ
e 3
³p
´
π
3 1
ei 4
2 ,2
60◦
iπ
45◦
6
³
270◦
ei
3π
2
(0, −1)
(1, 0)
330◦
11π
315◦ e i 6 p
³
´
300◦
3
, − 12
i 74π
2
e
5π
p ´
³p
ei 3
2
2
2 ,− 2
p ´
³
1 ,− 3
2
2
x
9
Exercice 11
1. Vérifiez que pour tout nombre complexe z, on a (1 + z + z2 )( z − 1) = z3 − 1.
2. En déduire que e2iπ/3 − eiπ/3 + 1 = 0
3. En déduire que dans le plan d’Argand-Cauchy, le triangle formé par les points d’affixe 0, 1, eiπ/3 est
équilatéral (ses trois côtés sont de même longueur).
4. Démontrez que les nombres 1, e2iπ/3 , e4iπ/3 forment un triangle équilatéral.
Argument
On a vu qu’on peut écrire tout nombre complexe sous la forme z = ρ eiθ , où ρ et θ sont réels avec ρ Ê 0. Puisque
| e iθ | = 1, on a ρ = | z| dans cette formule, et donc ρ est entièrement déterminé par z. Il n’en est pas de même de θ .
Lorsque z = 0, alors ρ = 0 et n’importe quel θ fait l’affaire dans cette formule. Lorsque z 6= 0, les choses sont un peu
plus compliquées.
Nous avons déjà remarqué que e2iπ = 1, et donc qu’en ajoutant 2π à θ , on ne change pas la valeur de z dans cette
formule. De façon plus générale, en ajoutant 2 kπ à θ , où k ∈ Z est un entier relatif, on ne change pas non plus la
valeur de z.
0
0
Par ailleurs, si z = ρ eiθ = ρ eiθ , alors, si ρ 6= 0 (c’est à dire si z 6= 0), on a ei(θ−θ ) = 1, et donc θ − θ 0 = 2 kπ, pour un
certain k ∈ Z.
On voit donc que lorsque z 6= 0, les réels θ tels que z = ρ eiθ ne sont définis qu’à 2 kπ près, pour k ∈ Z.
Définition 2
Pour tout z ∈ C∗ = C − {0}, un nombre θ ∈ R tel que z = | z| (cos θ + i sin θ ) est appelé un argument de z et noté
θ = arg( z).
iR
z
| z|
i
arg( z)
0
1
R
Cet argument est défini modulo 2π. On peut imposer à cet argument d’être unique si on rajoute la condition
θ ∈] − π, +π].
L’écriture de z 6= 0 sous la forme z = ρ eiθ avec ρ > 0 s’appelle l’écriture en coordonnées polaires ou la forme
exponentielle) du nombre complexe z. Je vous invite à consulter l’animation suivante : http://tube.geogebra.
org/student/m84079 .
Remarque 2
L’argument θ d’un nombre complexe z représenté dans le plan d’Argand-Cauchy par un vecteur d’affixe z et
d’origine O est l’angle (orienté) entre ce vecteur et l’axe des x.
Exercice 12
Écrire sous la forme a + i b les nombres complexes suivants :
1. z1 de module 2 et d’argument π/3.
2. z2 de module 3 et d’argument −π/4.
10
Exercice 13
a) Quels sont les arguments des réels, des imaginaires purs, des réels positifs, des réels négatifs ?
p
π
−1 − 3
b) Ecrivez sous la forme exponentielle les nombres complexes suivants : z1 = −4 ; z2 =
−
i ; z3 = ie i 3 ,
2
2
1+ i
π
z4 = −3 e i 2 , z5 = p
3− i
π
π
c) Représentez dans un plan d’Argand-Cauchy les points d’affixes z5 = 5 e i 2 ; z6 = 2 e− i 2 ; z7 = 2 e i
4π
3
.
Remarque 3
On remarque donc qu’un point du plan peut être placé à l’aide de son abscisse et ordonnée (coordonnées
cartésiennes) ou à l’aide de sa distance à l’origine et d’un angle (coordonnées polaires).
On dira que deux nombres θ et θ 0 sont congrus modulo 2π si leur différence est de la forme 2 kπ, pour un certain
k ∈ Z. On notera alors θ ≡ θ 0 (mod 2π).
Proposition 6
L’argument satisfait les propriétés suivantes :
¡ ¢
¡ ¢
• arg zz0 ≡ arg( z) + arg z0 (mod 2π)
• arg ( z n ) ≡ n arg( z) (mod 2π)
• arg (1/ z) ≡ − arg( z) (mod 2π)
• arg( z̄) ≡ − arg z (mod 2π)
Démonstration
zz0
=
=
=
¯ ¯¡
¢
| z| (cos θ + i sin θ ) ¯ z0 ¯ cos θ 0 + i sin θ 0
¯ 0¯ ¡
¡
¢¢
¯ zz ¯ cos θ cos θ 0 − sin θ sin θ 0 + i cos θ sin θ 0 + sin θ cos θ 0
¯ 0¯ ¡
¡
¢
¡
¢¢
¯ zz ¯ cos θ + θ 0 + i sin θ + θ 0
¡ ¢
donc arg zz ≡ arg(z) + arg z0 (mod 2π). On en déduit les deux autres propriétés, dont la deuxième par récurrence.
¡
¢
0
On connaît la relation de Chasles pour les angles :
−
−
−
(á
u→1 , −
u→2 ) + (á
u→2 , −
u→3 ) = (á
u→1 , −
u→3 )
ainsi, lorsqu’on a deux complexes non nuls z1 et z2 , représentés dans le plan par deux vecteurs u~1 et u~2 , alors
z1
l’argument de
est l’angle (orienté) de u 1 et u 2 . Démontrons le.
z2
On peut alors écrire
!
Ã
z−
u→
2
−
→
−
→
á
(mod 2π)
( u 1 , u 2 ) = arg
z−
u→
1
−
−v ) est le repère de référence du plan, alors
Par exemple, si (O, →
u ,→
−v
π
→
−
−v ) = arg z→
(à
u ,→
= arg i =
→
−
zu
2
(mod 2π)
De plus, toujours à l’aide de la relation de Chasles, si l’on pose z1 = z−
, z2 = z−
et z3 = z−
, cela s’écrit :
u→
u→
u→
1
2
3
arg
Posons w1 =
z2
z3
z3
+ arg
= arg .
z1
z2
z1
z2
z3
et w2 =
; la relation devient :
z1
z2
arg w1 + arg w2 = arg(w1 w2 ) (mod 2π)
L’on déduit aussi la relation :
−
−
(á
u→2 , −
u→1 ) = −(á
u→1 , −
u→2 ).
Remarquons que si l’on a un nombre complexe z = ρ eiθ et qu’on le multiplie par un nombre complexe u = eiφ de
module 1, alors le résultat est ρ ei(θ+φ) , c’est à dire que le nombre complexe z a tourné d’un angle φ. En conséquence,
la multiplication par un nombre complexe de module 1 correspond à une rotation autour de l’origine.
11
4.3. Exponentielle d’un Nombre Complexe
Nous connaissons l’exponentielle d’un nombre réel : l’exponentielle est une fonction qui à tout nombre réel x associe
un nombre réel positif non nul appelé e x . Nous reverrons dans le chapitre « fonctions usuelles » une définition plus
précise de l’exponentielle, ainsi que quelques unes de ses propriétés fondamentales.
Pour l’instant, nous rappelons la formule
e x+ y = e x e y .
(1)
Rappelons que e0 = 1. Nous déduisons de la formule 1 que l’inverse que e x est e− x . Rappelons aussi que tout
nombre réel x > 0 est l’exponentielle d’un unique nombre réel u (appelé le logarithme de x), et donc tel que e u = x.
Nous avons aussi défini, pour un nombre réel θ , l’exponentielle
eiθ = cos(θ ) + i sin(θ ).
En regroupant ces deux formules, nous obtenons
Définition
Pour tout nombre complexe z = x + i y,
e z = e x ei y = e x (cos y + i sin y).
(2)
On a alors :
Proposition 7
1. Pour tout couple ( z, z0 ) de nombres complexes,
0
0
e z+ z = e z e z .
2. Pour tout z ∈ C, e z 6= 0.
3. Si z = x + i y, avec x, y ∈ R, alors | e z | = e x et arg e z = { y + 2 kπ, k ∈ Z}. Ainsi, e x ei y est l’écriture de e z en
coordonnées polaires.
4. Pour tout complexe Z 6= 0, il existe au moins un nombre complexe z tel que Z = e z .
5. Pour tout k ∈ Z, e z+2ikπ = e z . En d’autres termes, l’exponentielle complexe est périodique de période
2iπ.
0
6. Si z = x + i y et z0 = x0 + i y0 , avec x, x0 , y, y0 ∈ R, et si e z = e z , alors il existe k ∈ Z tel que y0 = y + 2 kπ.
Démonstration
La démonstration du premier point est immédiate et repose sur la commutativité de la multiplication, de la formule
correspondante pour l’exponentielle réelle et de la formule de Moivre. En effet, on écrit, avec z = x + iy, z0 = x0 + iy0 ,
0
0
0
0
0
0
0
0
e z+ z = e x+ x ei( y+ y ) = e x e x ei y ei y = e x+i y e x +i y = e z e z .
Pour le second point, on a | e z | = e x 6= 0, et donc e z 6= 0. Par ailleurs | ei y | = 1 et donc | e z | = | e x | = e x , et l’écriture e x ei y
est bien l’écriture de e z en coordonnées polaires. De plus, puisque e2ikπ = 1 si k ∈ Z, alors e z+2ikπ = e z e2ikπ = e z .
En écrivant Z 6= 0 sous la forme exponentielle ρ eiθ , on voit aussi qu’en posant ρ = e x (c’est à dire x = ln(| z|), on a
Z = e x+iθ . Par ailleurs, le nombre θ n’est défini qu’à 2kπ près. Ce qui justifie le dernier point.
Ceux qui le souhaitent peuvent réfléchir à une définition du logarithme 4 . . .
Exercice 14
iα
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes e e et eiθ + e2iθ .
4. Voir compléments de ce chapitre
12
5. Racines carrées et équations du second degré
5.1. Racines carrées
Les racines carrées d’un nombre réel x sont les nombres réels y tels que y2 = x. Il n’en existe que si x Ê 0. Si x = 0,
p
alors il n’y en a qu’une y = 0. Si x > 0, il y a deux racines 5 , l’une positive, qu’on note x, et l’autre qui est son
p
opposée − x.
Lorsque x < 0, alors il n’y a pas de racine réelle, mais il y en a deux complexes. Si x = − x0 , avec x0 > 0, alors ces
p
deux racines sont ±i x0 . Dans ce cas, comme il n’y a pas d’ordre « naturel » sur les nombres complexes, on ne peut
pas distinguer ces deux racines.
En fait, cette propriété est vraie pour tous les nombres complexes
Définition 3
On appelle racine carrée d’un nombre complexe z tout nombre complexe z1 tel que z12 = z.
De la même manière, pour tout entier naturel n, on appellera racine nième d’un nombre complexe z tout
nombre complexe z2 tel que z2n = z.
Théorème 2
Pour tout nombre complexe z 6= 0, il existe exactement deux racines carrées distinctes de z. Elles sont
opposées l’une de l’autre. Si z1 est une racine carrée de z, alors − z1 en est aussi une.
Remarque 4
Bien sûr, lorsque z = 0, il n’y a qu’une seule racine carrée qui est 0 lui même.
Démonstration
Remarquons tout d’abord que si z12 = z, alors (− z1 )2 = z. De plus, si z1 et z2 sont deux racines carrées de z, alors
z12 − z22 = 0, d’où (z1 − z2 )(z1 + z2 ) = 0. On en déduit que z1 = z2 ou bien que z1 = − z2 . Il n’y a donc bien que deux racines
carrées au plus.
Montrons maintenant l’existence.
p
Solution 1 : Avec la forme exponentielle, on écrit z = ρ eiθ , avec ρ > 0. Alors ρ eiθ/2 est de façon évidente une racine
p
p
carrée de z. Remarquons que l’autre racine est − ρ eiθ/2 = ρ ei(θ/2+π) . L’argument θ de z n’étant défini qu’à 2π près,
celui θ /2 de la racine carrée n’est défini qu’à π près.
Solution 2 : Mais nous pouvons aussi faire le calcul à l’aide de la forme algébrique, en utilisant uniquement les
racines carrées de nombres réels positifs. En effet, posons Z = X + iY , et cherchons z = x + iy tel que z2 = Z. Alors, il
vient
x2 − y2 = X , 2x y = Y .
On obtient alors en sommant les carrés X 2 + Y 2 = (x2 + y2 )2 , d’où
p
x 2 + y2 = X 2 + Y 2 ,
et l’on retrouve ainsi | z|2 = | Z |, puis
x2 =
Nous remarquons que X +
pouvons alors écrire
p
p
1
(X + X 2 + Y 2 ).
2
X 2 + Y 2 est toujours un réel positif ou nul (et n’est nul que si Y = 0 et X É 0). Nous
1
x =±p
2
et finalement, si x 6= 0,
y=
q
X+
p
X 2 + Y 2,
Y
Y
=±
.
q
p
p
2x
2 X + X2 +Y2
5. on se permettra l’abus de langage consistant à utiliser simplement le terme racine pour désigner une racine carrée
13
p
Le cas x = 0 ne peut se produire que si Y = 0 et X < 0, auquel cas y = ± − X , ce qui correspond aux deux racines
imaginaires pures d’un nombre réel négatif.
Remarque 5
• La deuxième solution nous montre que si on sait calculer les racines carrées des nombres réels, alors
on sait aussi calculer les racines carrées des nombres complexes, puisque nous n’avons utilisé que des
racines carrées pour exprimer x et y à partir de X et Y . Cela se fait en résolvant :

p
2
2

=
X2 +Y2
 x +y
2
2
2
z =Z⇔
x −y
= X


2x y = Y
• En comparant les deux solutions, nous retombons sur les expressions
cos θ = cos2
θ
θ
θ
θ
− sin2 , sin θ = 2 sin cos .
2
2
2
2
p
On pourra souvent noter ces deux racines de z sous la forme ± z, mais il faut avoir conscience que c’est une
notation arbitraire, et que contrairement au cas réel positif, aucune des deux racines n’est privilégiée.
Exercice 15
1. Calculez les deux racines carrées de i et de −i en utilisant les formes algébriques et exponentielles.
2. Montrez que si z1 et − z1 sont des deux racines carrées de z, alors i z1 et −i z1 sont les deux racines
carrées de − z.
Exercice 16
p
Calculez les racines carrées de z1 = 1 − i , de z2 = 3 + 2 i , de z3 = 5 3 + 5 i et de z4 = 1 − 7 i .
5.2. Equations du second degré
La résolution d’une équation du second degré est la recherche des solutions z ∈ C de l’équation
az2 + bz + c = 0,
où a, b, c sont des nombres complexes (et bien sûr le cas des paramètres réels n’en est qu’un cas particulier). Les
solutions s’expriment exactement comme dans le cas réel. Nous supposerons toujours que a 6= 0, car sinon nous
avons affaire à une simple équation du premier degré.
Proposition 8
déf
Appelons ∆ = b2 − 4ac le discriminant de l’équation, et δ et −δ les deux racines carrées de ∆.
Alors,
b
1. Si ∆ = 0, il n’y a qu’une seule solution z0 = − . On dira alors (pour une raison qui sera expliquée dans
2a
le chapitre « polynômes ») qu’il s’agit d’une racine double.
2. Si ∆ 6= 0, il y a deux racines distinctes qui sont
z1 =
−b + δ
−b − δ
, z2 =
.
2a
2a
On voit donc que l’expression est exactement la même que pour les équations à coefficients réels.
14
Démonstration
Nous réécrivons l’équation sous la forme
a(z +
b 2 b2
∆
) =
−c=
,
2a
4a
4a
ou encore
∆
b 2
) =
.
2a
4a2
En introduisant les deux racines carrées ±δ de ∆, il vient
(z +
z+
b
δ
=± ,
2a
2a
d’où
z=
−b ± δ
.
2a
Exemple 1
Voyons comment résoudre l’équation du second degré : z2 + (1 + 2i) z + 3 + 3i.
Le discriminant de cette équation est ∆ = (1 + 2 ∗ i)2 − 4(3 + 3i) = −15 − 8i. On cherche donc une racine de ∆.
On a vu en 5.1 comment calculer une racine carrée d’un nombre complexe. On résout donc

2
2

= | − 15 − 9i|
 x +y
2
x − y2 = −15


2 x y = −8
p
Ainsi on calcule | − 15 − 8i| = 152 + 82 = 17 d’où :


2
2
2


= 17
=
 x +y
 x
2
2
2
x −y
= −15 ⇔
y
=




2 x y = −8
2x y =
(
1
x
16 ⇔
y
−8
=
=
1
−4
(
ou
x
y
=
=
−1
4
Ainsi δ = 1 − 4i est une racine de ∆. Les solutions de l’équation sont donc
z1 =
−(1 + 2 i ) − δ
2
z2 =
−(1 + 2 i ) + δ
2
soit
z1 = −1 + i
z2 = −3i
Exercice 17
1. Est-il surprenant que les solutions de cette équation du second degré ne soit pas conjuguées ?
2. Donnez une condition nécessaire et suffisante pour que les deux solutions d’une équation du second
degré soient conjuguées. (démontrez-le)
Exercice 18
Déterminez les racines des polynômes suivants
• X2 − X +1−i
• 4 X 2 − 4 X + 9 − 6i
• X 2 + (i − 1) X − i
15
5.3. Racines n ièmes de l’unité
Proposition 9
Pour n entier naturel, les solutions de l’équation z n = 1 s’appellent les racines nièmes de l’unité. Il y en a
exactement n, qui sont
1, e2iπ/n , e4iπ/n , · · · , e2(n−1)iπ/n .
De façon générale, tout nombre de la forme e2kiπ/n , pour k ∈ Z, est une racine nième de l’unité (qui est toujours
égale à l’un des nombres de la liste précédente si l’on se rappelle que e2iπ = 1).
Démonstration
Si z n = 1, alors | z|n = 1, donc | z| = 1 et par suite z = eiθ pour un certain θ . Alors l’équation devient e niθ = 1, d’où
nθ = 2kπ, pour un certain k ∈ Z.
0
Par ailleurs, si k − k0 = pn, pour p ∈ Z, alors e2ikπ/n = e2ik π/n . Les racines nièmes de l’unité correspondantes sont alors
identiques. Au bout du compte, il n’en reste que n distinctes.
Remarquons que le produit de deux racines nièmes de l’unité est encore une racine nième de l’unité.
Nous noterons en général µn = { e2kiπ/n | k ∈ Z } l’ensemble des racines nièmes de l’unité.
L’étude des racines de l’unité est appelée « cyclotomie » à cause de leurs très belles propriété géométriques : les
racines nièmes sont les affixes des sommets d’un polygone régulier à n sommets.
Ce polygone est invariant par la rotation de centre O et d’angle 2π/ n (et par chacune de ses « itérées », les rotations
de centre O et d’angle 2 kπ/ n).
De façon plus générale, si Z = ρ e iθ les solutions de l’équation z n = Z s’écrivent ρ 1/n ei(θ+2kπ)/n , pour k = 0, 1, · · · , n − 1.
Par contre, il n’y a pas de formule simple pour des équations algébriques de la forme a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 0 = 0
dans le cas général. Il en existe (assez compliquées) pour n = 3 et n = 4 (et c’est d’ailleurs pour le cas n = 3 qu’on
été inventés les nombres complexes), mais il n’y a pas de formule générale 6 dès que n Ê 5.
Exercice 19
1. Quelles sont les racines quatrièmes de l’unité ? (Formes exponentielle et algébrique)
2. Donnez en coordonnées cartésiennes toutes les racines huitièmes de l’unité.
3. Dessinez les polygones réguliers correspondants à µ3 et µ5 .
4. Calculer l’aire du polygone régulier µn .
L’illustration suivante pourrait vous aider : http://tube.geogebra.org/material/show/id/51434.
5.4. Applications à la trigonométrie
Elles reposent essentiellement sur les formules d’Euler :
cos x =
ei x + e−i x
2
et
sin x =
ei x − e−i x
,
2i
et sur la formule de Moivre :
cos nx + i sin nx = (cos x + i sin x)n .
Signalons également la formule utile :
³
³ x ´´
.
ei x − 1 = ei x/2 2i sin
2
6. On
vous
invite
à
consulter
http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/
les-mathematiques-de-galois/resolution-des-equations-algebriques-de-degre-3-et-4/
16
Exercice 20
1. Donnez une formule analogue pour ei x + 1.
2. Calculez le module de ei x + 1 pour x ∈ R.
3. Calculez un argument de ei x + 1 pour x ∈] − π, π[.
La formule du binôme
Pour appliquer la formule de Moivre, on aura souvent besoin de la formule du binôme (valable pour n ∈ N) :
à !
n n
X
n
a k b n− k .
(a + b) =
k
k=0
Avec la loi binomiale, il a été vu au lycée les coefficients binomiaux. Ces coefficients étaient obtenus au lycée à
l’aide de la calculatrice. Voici leur formule :
à !
n déf
n!
n( n − 1) · · · ( n − k + 1)
=
=
,
k
k!( n − k)!
k!
où les factorielles sont elles-mêmes définies par :
déf
n! = 1 × 2 × · · · × n.
Par exemple, 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, etc. On a toujours
à ! à !
n
n
=
= 1,
0
n
à ! Ã
!
n
n
=
= n si n Ê 1,
1
n−1
à ! Ã
!
n
n
n( n − 1)
si n Ê 2,
=
=
2
2
n−2
etc.
La formule du binôme se prouve par récurrence sur n en utilisant les relations de Pascal :
Ã
! Ã ! Ã
!
n+1
n
n
=
+
.
k+1
k
k+1
Cette formule permet aussi de calculer effectivement les coefficients du binôme grâce au triangle de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
On trouve dans la n-ième ligne les coefficients du développement du binôme pour l’exposant n. On passe d’une
ligne à la suivante en sommant les nombres de la ligne précédente sur la même colonne et la colonne précédente.
Ainsi, en lisant ce tableau pour la deuxième ligne, on trouve
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
pour la troisième ligne, on trouve
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
et pour 7-ième ligne, on trouve par exemple
(a + b)7 = a7 + 7a6 b + 21a5 b2 + 35a4 b3 + 35a3 b4 + 21a2 b5 + 7ab6 + b7 .
17
Expression explicite pour cos nx et sin nx
Écrivons que cos nx et sin nx sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de (cos x + i sin x)n , que
l’on développe avec la formule du binôme. On prend en compte le fait que ik est réel si k est pair, et imaginaire pur
si k est impair : i2` = (−1)` et i2`+1 = (−1)` i.
Exemple 2
Regardons ce que ça donne par exemple pour cos(5 x) :
cos(5 x) = Re( e5 ix )
= Re((cos( x) + i sin( x))5 )
¡
¢
= Re cos5 ( x) + 5i cos4 ( x) sin( x) − 10 cos3 ( x) sin2 ( x) − 10i cos2 ( x) sin3 ( x) + 5 cos( x) sin4 ( x) + i sin5 ( x)
¡
¢
= Re cos5 ( x) − 10 cos3 ( x) sin2 ( x) + 5 cos( x) sin4 ( x) + i(5 cos4 ( x) sin( x) − 10 cos2 ( x) sin3 ( x) + sin5 ( x))
= cos5 ( x) − 10 cos3 ( x) sin2 ( x) + 5 cos( x) sin4 ( x)
Remarque 6
Pour ceux qui ont une excellente mémoire, il existe une formule générale :
à !
bX
n/2c
n
cos nx =
(−1)` (cos x)n−2` (sin x)2` ,
2
`
`=0
Ã
!
b( n−
1)/2c
X
n
sin nx =
(−1)` (cos x)n−2`−1 (sin x)2`+1 .
2
`
+
1
`=0
On a noté bac la partie entière de a. Si l’on remplace partout sin2 x par 1 − cos2 x, on constate que cos nx
s’exprime comme un polynôme en cos x seul, et que sin nx s’exprime comme le produit de sin x par un polynôme
en cos x seul. Il existe des formules très générales, mais il est aussi simple de savoir les retrouver au coup
par coup.
Exercice 21
1. Donnez explicitement cos(3 x) et sin(3 x) en fonction de cos x et sin x.
2. Donnez explicitement cos(4 x) et sin(4 x) en fonction de cos x et sin x.
Linéarisation d’une expression trigonométrique
Des formules d’Euler, on déduit que les puissances de cosinus et de sinus et leurs produits peuvent s’exprimer
comme des combinaisons linéaires d’exponentielles.
Exemple 3
Commençons par quelques exemples simples
cos2 ( x) =
µ
ei x + e−i x
2
sin2 x =
µ
¶2
=
1
1
1 2i x
( e + 2 ei0 + e−2i x ) = (2 cos(2 x) + 2) = (cos(2 x) + 1),
4
4
2
ei x − e−i x
2i
¶2
=
−1 2i x
−1
( e − 2 ei0 + e−2i x ) =
(cos(2 x) − 1).
4
2
Remarque 7
Voici un exemple de formule générale :
ei x + e−i x
cos x =
2
n
µ
¶n
−n
=2
à !
à !
´k ³
´ n− k
n n ³
n n
X
X
ix
−i x
−n
e
e
=2
ei(2k−n) x .
k=0 k
k=0 k
Comme on sait d’avance que le résultat est réel, on peut remplacer chaque terme du membre de droite par sa
18
partie réelle :
n
−n
cos x = 2
à !
à !
³
´
n n
n n
X
X
i(2 k− n) x
−n
cos(2 k − n) x.
Re e
=2
k=0 k
k=0 k
Exercice 22
1. Écrivez de la même façon cos3 ( x) et sin3 ( x) en fonction de cos( x), sin( x), cos(2 x), sin(2 x), cos(3 x), sin(3 x).
C’est ce que l’on appelle linéariser.
2. Linéarisez cos3 ( x) sin2 ( x) puis cos2 ( x) sin3 ( x). Que remarquez-vous ?
6. Géométrie du plan
L’objectif de ce paragraphe est d’approfondir vos connaissances relatives aux nombres complexes et à la géométrie.
Nous commencerons par aborder un exemple simple avant de formaliser un peu plus le contenu de ce paragraphe.
Exercice 23
1. Rappelez à l’aide d’un dessin ce qu’est une translation.
−−→
2. Rappelez la définition de la translation de vecteur AB.
3. On donne A (1 + 2i) et B(3 + i).
−−→
(a) C est le point d’affixe −2 − 2i. Quel est l’affixe de son image par la translation de vecteur AB ?
−−→
(b) M est le point d’affixe z. Quel est l’affixe de son image par la translation de vecteur AB ?
Exercice 24. Complexes et Transformations du Plan
1. Étude d’un cas particulier :
On définit r comme la transformation a du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M 0 d’affixe
π
z0 = ei 4 ( z − 3) + 3.
(a) Placez les points A (3 i ), B(3) et C (3 + 3 i ).
(b) Placez les points A 0 = r ( A ), B0 = r (B) et C 0 = r (C ) après avoir calculé leurs affixes.
(c) Que semble faire la transformation r ?
2. Etude du cas général On définit à présent r comme la transformation du plan qui à tout point M d’affixe
z associe le point M 0 d’affixe z0 = eiθ ( z − ω) + ω.
(a) Démontrez M et M 0 sont sur un cercle de centre Ω(ω).
³−−→ −−−→´
(b) Calculez Ω M ; Ω M 0
(c) Que peut-on conclure ?
3. Applications
(a) Démontrez que la transformation qui à tout point M ( z) du plan associe le point M 0 d’affixe
z0 = i z − 2 − 4i est une rotation dont on précisera le centre et l’angle.
(b) De façon générale, démontrez que toute transformation du plan de la forme z 7→ az + b avec |a| = 1
est une rotation dont on précisera l’angle et le centre.
a. la définition ce mot sera vu juste après
On vient donc de démontrer le théorème suivant :
19
Théorème 3. Ecriture complexe d’une rotation
• L’écriture complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ radians est z 7→ e iθ ( z − ω) + ω.
• Réciproquement, toute transformation s’écrivant z 7→ az + b avec |a| = 1 et a 6= 1 est une rotation dont
le centre Ω(ω) vérifie ω = aω + b.
6.1. Vocabulaire
Lorsque dans le plan, à chaque point M on associe un unique point N , on dit que l’on a défini une application
du plan dans lui-même.
Exemple 4
Une fonction réelle à valeur réelle est donc une application de E dans R avec E un sous-ensemble de R (E ⊂ R).
Dire qu’une application est bijective signifie que tout point N du plan est l’image par f d’un point M et d’un
seul 7 .
Exemple 5
Donnez des fonctions bijectives de R dans R puis des non bijectives.
Une application bijective du plan dans lui-même est appelée transformation.
La transformation triviale qui à tout point M du plan associe ce même point M est appelée identité. On la note
I d et on a I d ( M ) = M pour tout point M du plan.
Exercice 25
On considère dans le plan une droite d . Soit p la projection sur la droite d , c’est à dire l’application du plan
dans lui-même, qui à tout point M du plan, associe le point M 0 , intersection de la droite d et de la droite
passant par M et perpendiculaire à d .
a) Construisez les images M 0i des points M i par p.
b) p est-elle une transformation ? Illustrez-votre réponse par deux arguments.
M2
M5
M3
M1
M4
7. Cette notion de bijectivité sera approfondie dans un autre chapitre
20
Exercice 26
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ~
u,~
v).
a) L’application f qui, au point M d’affixe z, associe le point M 0 d’affixe z0 = 3 iz + 4 est-elle une transformation
du plan ?
b) L’application g qui, au point M d’affixe z, associe le point M 0 d’affixe z0 = z2 − 3 i est-elle une transformation
du plan ?
6.2. Propriétés
Proposition 10
Soit f une transformation du plan. L’application du plan dans lui-même qui, à tout point N , associe l’unique
point M tel que f ( M ) = N est aussi une transformation du plan.
Elle est appelée transformation réciproque de f et est notée f −1 .
Illustration :
f
M = f −1 ( N )
f ( M ) = N ⇔ f −1 ( N ) = M
N = f (M)
f −1
Exercice 27
1. Quelle est l’expression de la transformation réciproque de f définie à l’exercice précédent ?
2. Démontrez la proposition précédente.
Proposition 11
• Soit f et g des applications du plan dans lui-même. L’application qui, à un point M , associe le point
f ( g( M )) est aussi une application du plan dans lui-même. Cette application est appelée composée de
g suivie de f et elle est notée f ◦ g.
• Si f et g sont des transformations alors f ◦ g est aussi une transformation.
Démonstration
La preuve du second point est un bon exercice.
Exercice 28
On définit f comme la rotation de centre O , d’angle
π
2
et g comme l’homothétie de centre O et de rapport 2 a .
a) f et g sont-elles des transformations ?
b) Que pouvez-vous déduire quand aux applications f ◦ g et g ◦ f ?
c) On donne M1 (−2), M2 (2 − i ), M3 (3 + 2 i ). Placez ces points dans le plan puis construisez leurs images M 0i
par la transformation f ◦ g ?
d) Construisez les points M 00i images des points M i par la transformation g ◦ f ? Que pouvez-vous déduire ?
e) Quelle est la transformation réciproque de f ◦ g ?
a. Rappelez ce qu’est une homothétie. . .
21
6.3. Déplacements du Plan
Rappels
• On dit qu’une transformation f du plan conserve les distances si pour tous points A et B du plan on a :
AB = f ( A ) f (B)
• Une transformation qui conserve les distances est appelée une isométrie.
• On dit qu’une transformation f conserve les rapports de distances si pour tous points A, B, C, D d’images
respectives A 0 , B0 , C 0 , D 0 par f tels que C 6= D on a :
AB A 0 B0
=
CD C 0 D 0
• On dit qu’une transformation f conserve les angles orientés si pour tous points A, B, C d’images respectives A 0 , B0 , C 0 par f tels que A 6= B et A 6= C on a :
−−−→ −−−→
−−→ −−→
( AB; AC ) = ( A 0 B0 ; A 0 C 0 )
Exercice 29
Complétez ce tableau à l’aide de vos connaissances :
Application
du Plan
Est-ce une
Transformation ?
Conserve-t’elle
les Distances ?
Conserve-t’elle les
Rapports de Distances ?
Conserve-t’elle les
Angles Orientés ?
Définition 4
On appelle déplacement toute transformation du plan qui conserve les distances et les angles orientés.
Exemple 6
•
•
•
•
Les translations et les rotations sont des déplacements.
Une homothétie de rapport k différent de 1 ou −1 n’est pas un déplacement.
Une homothétie de rapport 1 est un déplacement particulier, c’est
.
Une homothétie de rapport −1 est un déplacement particulier, c’est
Proposition 12
• Si f est un déplacement, alors sa réciproque f −1 est un déplacement.
• Si f et g sont des déplacements, alors f ◦ g et g ◦ f sont des déplacements.
Démonstration
C’est un très bon exercice pour apprendre à manipuler une définition.
.
22
Théorème 4. Admis
• Un déplacement est soit une translation soit une rotation.
• Plus précisément si un déplacement a un point fixe, c’est une rotation. S’il n’a pas de point fixe c’est
une translation.
Exercice 30
On considère l’application f qui, au point M d’affixe z, associe le point M 0 d’affixe z0 = iz + 1 − i .
1) Justifiez que f a un point invariant unique.
2) Démontrez que f est une rotation dont on donnera les éléments caractéristiques.
−v d’affixe i − 1. Justifiez que t ◦ f et f ◦ t sont des déplacements et
3) On considère la translation t de vecteur →
donnez leurs éléments caractéristiques.
Exercice 31
Soit r la rotation de centre Ω d’affixe 1 et d’angle
π
4
et r 0 la rotation de centre Ω0 d’affixe i et d’angle
−π
.
4
Justifiez que f = r 0 ◦ r et g = r ◦ r 0 sont des translations que l’on caractérisera. A-t-on f = g ?
Exercice 32
−v d’affixe −1 + (p2 − 1) i . Soit r la rotation de centre Ω d’affixe 1 + i et d’angle
Soit t la translation de vecteur →
π
.
4
1) Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de t ◦ r .
2) Le point O est-il invariant par r ◦ t ? A-t-on r ◦ t = t ◦ r ?
6.4. Similitudes Directes
Définition 5
On appelle similitude directe du plan, toute transformation f qui peut s’écrire sous la forme f = g ◦ h avec
g un déplacement et h une homothétie.
Une transformation qui peut s’écrire f = h ◦ g avec h une homothétie et g un déplacement est aussi une similitude
directe du plan. (Avez-vous remarqué la différence avec la définition ?)
Exercice 33
•
•
•
•
Un déplacement est une similitude directe ?
Une similitude directe est un déplacement ?
Une homothétie est une similitude directe ?
Une similitude directe est une homothétie ?
Proposition 13
• Toute similitude directe a une écriture complexe de la forme z0 = az + b avec a ∈ C∗ et b ∈ C.
• Réciproquement, une application du plan dans lui même ayant pour écriture complexe z0 = az + b avec
a ∈ C∗ et b ∈ C est une similitude directe.
23
Démonstration
Par disjonction des cas.
Proposition 14
Soit f une similitude directe dont l’écriture complexe est z0 = az + b avec a ∈ C∗ et b ∈ C.
• f multiplie les distances par k = |a|. On dit que k est le rapport de la similitude directe f . ( k > 0)
−−−→ −−−−−−−−→
• Pour tous points distincts de M et N du plan, ( MN, f ( M ) f ( N )) = arg(a) mod 2π. On dit que θ = arg(a)
est l’angle de la similitude directe f .
• Si a 6= 1, c’est à dire si f
, f a un unique point invariant (ou point fixe)
Ω. Ω est alors appelé le centre de la similitude directe f .
Remarque 8
Avant de faire la preuve, je vous invite à consulter http://geogebratube.org/student/m145166 pour
mieux visualiser ce qu’est une similitude. (le cas de la translation est exclu ici).
Démonstration
en exercice
Exercice 34
Pour chacune des similitudes directes, donner le rapport, l’angle et le centre éventuel.
• f d’écriture complexe z0 = −3 z + 1 − 5 i
• g d’écriture complexe z0 = (1 + i ) z + 1 − i
• h d’écriture complexe z0 = z + 1 + i
Exercice 35
−
−v ). Ω est un point du plan d’affixe ω.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; →
u ;→
π
Pour tout point M , on considère le point M1 image de M par la rotation de centre Ω et d’angle . On appelle
3
M 0 le milieu de [ MM1 ]. Soit f l’application qui à M fait correspondre le point M 0 . Déterminer l’écriture
complexe de f et justifier que f est une similitude dont on donnera le centre, le rapport et l’angle.
Exercice 36
−−→ −−→
π
On considère un triangle ABC tel que (BA, BC ) = [2π], AB = 3 et BC = 4.
2
Soit I le milieu de [BC ]. On suppose qu’il existe une similitude directe s transformant A en I et B en C .
Déterminer l’angle et le rapport de s. Donner une construction géométrique de s.
Exercice 37
Démontrez que si A, B, A 0 , B0 sont quatre points tels que A 6= B et A 0 6= B0 alors il existe une unique similitude
directe s et une seule telle que s( A ) = A 0 et s(B) = B0 .
24
7. Exercices de Synthèse
7.1. Révisions
Exercice 38
Exercice 39
Ecrivez les nombres complexes suivants sous la
forme algébrique.
3−i
1. z1 =
3 + 5i
4i
2. z2 =
i−4
i(1 + i)
3. z3 =
3 + 4i
(1 + i)4
4. z4 = p
( 3 − i)6
Exercice 40
Calculez le module et un argument des nombres
complexes suivants :
1. (−1 − i)5
p
2. ( 3 − i)7
¶
µ
1+i 4
3.
p
1 − 3i
(1 − i)3
4.
p
1 + 3i
Exercice 41
Démontrez que
¢
1¡
∀ z1 , z2 ∈ C, Re( z1 z2 ) É
| z 1 | 2 + | z 2 |2
2
Calculez la somme S n =
n
X
z i = 1 + z + z2 + · · · + z n .
i =0
Exercice 42
p
On donne les nombres complexes suivants : z1 = 2(1 + i) et z2 =
p
3 1
− i.
2
2
z1
.
1. Déterminez la forme trigonométrique de z1 ; z2 et
z2
µ ¶
µ ¶
5π
5π
2. Déduisez-en les valeurs exactes de cos
et sin
12
12
Exercice 43
Écrivez sous forme trigonométrique et algébrique les racines carrées de
³π´
sin
12
Exercice 44
Démontrez que pour tout z ∈ C et tout θ ∈ R on a :
z+
1
1
= 2 cos(θ ) =⇒ z n + n = 2 cos( nθ )
z
z
Exercice 45. @
A l’aide d’un logiciel de calcul formel, calculez :
i(1 + i)
1. sous forme algébrique z1 =
3 + 4i
(1 − i)3
2. sous forme exponentielle z2 =
p
1 + 3i
³π´
p
3 + i pour en déduire cos
et
12
25
7.2. Forme exponentielle
Exercice 46
n est un entier naturel. Donnez une condition nécessaire et suffisante pour que ( i − 1)n soit un nombre réel.
Exercice 47
1. Calculez le module de ei x + 1 pour x ∈ R.
2. Calculez l’argument de ei x + 1 pour x ∈] − π, π[.
Exercice 48
1
1. Déterminez le module, un argument, les parties réelles et imaginaires de : e(2+3i) , ei(2+3 i) , et e 2+3i .
1
2. Mêmes questions pour e z , ei z , e z̄ , et e z , en fonction z = x + i y.
3. Résolvez e z = 2.
Exercice 49
α, β ∈ R, calculez le module et un argument de :
eiα + eiβ
1 − eiα eiβ
Exercice 50
1. Démontrez que, pour tout n ∈ N∗ et tout nombre z ∈ C, on a :
¡
¢
( z − 1) 1 + z + z2 + ... + z n−1 = z n − 1,
et en déduisez-en que, si z 6= 1, on a :
1 + z + z2 + ... + z n−1 =
2. Vérifiez que pour tout x ∈ R , on a exp( ix) − 1 = 2 i exp
¡ ix ¢
2
zn − 1
.
z−1
sin
¡x¢
2
.
3. Soit n ∈ N . Calculez pour tout x ∈ R la somme :
∗
Z n = 1 + exp( ix) + exp(2 ix) + ... + exp(( n − 1) ix),
et en déduisez-en les valeurs de
Xn
=
1 + cos( x) + cos(2 x) + ... + cos(( n − 1) x)
Yn
=
sin( x) + sin(2 x) + ... + sin(( n − 1) x).
7.3. Racines d’un nombres complexes
Exercice 51
Trouvez les racines quatrièmes de 81 et de -81.
Exercice 52
1. Calculez les racines carrées de i et de −i.
2. Calculez les racines carrées de ei t pour t dans R.
26
Exercice 53
1. Calculez les racines carrées de chacun des trois nombres ci-dessous :
z1 = i
z2 = 3 − 3 i
z3 = 8 − 6 i
2. Résolvez l’équation z2 + ( i − 1) z − i = 0 avec z ∈ C.
Exercice 54
1. Calculez les racines carrées de −2i.
2. Résolvez dans C l’équation
z2 + (1 + i) z + i = 0.
3. Résolvez dans C l’équation
z2 + z(1 − 5i) − 6 − 2i = 0.
Exercice 55
Résolvez dans C :
z 2 + i z − 2 − i = 0.
Exercice 56
p
Résolvez dans C l’équation e2 z = 1 3i.
Exercice 57
Résolvez dans C l’équation e2 z + e z + 1 = 0.
Exercice 58
Les nombres complexes suivants sont-ils des racines n-ième de l’unité ? Si oui, précisez pour quelle valeur de
n. Si non, expliquez pourquoi.
p
z1 =
p
p
p
2+ 3
2− 3
+i
,
2
2
i
z3 = e 2 ,
5π
z4 = ei 15 ,
4−i
,
1 + 2i
p
1+i 3
z5 = −3
.
i
z2 =
Exercice 59
On considère les trois solutions de z3 − 2 z2 − iz + 3 − i = 0.
1. Résolvez cette équation sachant qu’elle admet une solution réelle.
2. Dans le plan complexe, on considère les trois points ayant ces racines pour affixes. Prouvez que le
triangle obtenu est rectangle isocèle.
Exercice 60. @
A l’aide d’un logiciel de calcul formel :
1. Calculez une racine de 1 + 2i sous la forme algébrique.
2. Résolvez l’équation i z2 + (3 + i) z + 5 = 0. Les solutions seront données sous la forme algébrique.
27
7.4. Complexes et trigonométrie
Exercice 61
Linéarisez sin5 x et sin4 x cos x.
Exercice 62
1. Exprimez cos(4 x) à l’aide de cos x et de ses puissances.
2. Exprimez
sin(5 x)
sin( x)
à l’aide de cos x et de ses puissances.
3. Exprimez ces mêmes expressions à l’aide de sin x et de ses puissances.
Exercice 63
1. Linéarisez (sin( x) cos( x))3
2. Déduisez de la question précédente une primitive de (sin( x) cos( x))3 .
Exercice 64. @
A l’aide d’un logiciel de calcul formel :
1. Linéarisez sin5 x et sin4 x cos x.
2. Exprimez cos(4 x) et
sin(5 x)
sin( x)
comme polynômes en sin x et cos x.
7.5. Complexes et géométrie
Exercice 65
◦
◦
À quelle condition D ( z0 , r ) et D ( z00 , r 0 ) se rencontrent-ils ?
Indication : commencez par faire un dessin.
Exercice 66. Raisonnement par analyse-synthèse
Résolvez dans C,
(
| z + 1|
| z − 1|
É
É
1
1
Exercice 67. Raisonnement par équivalences successives
Déterminez l’ensemble des nombres complexes z tels que
¯
¯
¯
¯ p
¯ z−3¯
¯
¯
¯
¯ = 1 d’une part et ¯ z − 3 ¯ = 2 d’autre part.
¯ z−5¯
¯ z−5¯
2
Exercice 68
1. Résolvez dans C l’équation (1) ( z − 2)/( z − 1) = i. On donnera la solution sous forme algébrique.
2. Soit M, A, et B les points d’affixes respectives z, 1, 2. On suppose que M 6= A et que M 6= B. Interprétez
géométriquement le module et un argument de ( z − 2)/( z − 1) et retrouvez la solution de l’équation (1).
Exercice 69
¯
¯
¯ 3¯
Déterminez par le calcul et géométriquement les nombres complexes z tels que ¯ zz−
¯ = 1. Généralisez pour
−
5
¯
¯
¯ z−a ¯
¯ z−b ¯ = 1.
28
Exercice 70
1. Calculez les racines carrées du nombre complexes −3 − 4i.
2. Résolvez dans C, l’équation z2 − z(1 + 4i) − 3 + 3i = 0. On note z1 et z2 les solutions trouvées.
3. Existe-t-il une rotation envoyant z1 sur z2 ?
4. Écrivez les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique : z3 =
z5 = −i.
p1
2
+ i p1 , z4 =
2
p
3
2
− i 12 , et
5. Représentez graphiquement les points d’affixes z1 , z2 , z3 , z4 , et z5 dans le plan complexe.
7π
6. Déterminez une similitude directe f telle que f ( z3 ) = ei 12 et f ( z5 ) = z4 . Donnez le centre, le rapport et
l’angle de cette similitude.
7. Pour chacun des nombres complexes z1 , z2 , z3 , z4 et z5 , dites si c’est une racine n-ième de l’unité. Si
c’est le cas, préciser pour quelle valeur de n. Dans tous les cas justifiez votre réponse.
Exercice 71
Soit n Ê 3. On note z k = e2kiπ/n et M k le point du cercle unité d’affixe z k . Les points M0 , M1 , . . . , M n−1 sont les
sommets d’un polygone régulier.
1. Calculez le périmètre de ce polygone.
2. Calculez l’aire de ce polygone.
3. Calculez les limites de ces nombres lorsque n → +∞. Qu’observez-vous ?
Exercice 72
1. Quelle est l’image du demi-plan C+ par l’application z 7→ exp( z) ?
2. Quelle sont les images des ensembles
E 1 = { z = x + i y | x É 0 },
et
E 2 = { z = x + i y | x É 0, 0 É y < 2π }
par l’application z 7→ exp( z) ? Est-ce que cette application est une bijection entre E 1 ou E 2 et leur image ?
Exercice 73
On note z1 = 2i et z2 = −1 + 3i.
−1+5i
telle que f 1 ( z1 ) = z2 . Quels sont son rapport et son angle ?
2
−1+7i
z3 = 3 et de rapport 2 telle que f 2 ( z1 ) = z2 ? Si oui quel est
1. Trouvez une similitude f 1 de centre z0 =
2. Existe-t-il une similitude f 2 de centre
son angle ?
Exercice 74
1. Montrez que l’application φ( z) =
plan C+ = { z | Re( z) > 0 }.
1+ z
1− z
est une bijection entre le disque unité D = { z | | z| É 1 } et le demi-
2. Quelle est l’application réciproque ?
3. En utilisant les résultats de la question précédente trouvez une fraction rationnelle F ( z) =
que l’image par F du quart de plan
{ z = x + i y | x > 0, y > 0 }
soit le disque unité { z | | z| < 1 }.
P ( z)
Q ( z)
telle
29
8. Compléments- Hors Programme UE
8.1. Algèbre et Nombres Complexes
• Corps commutatifs
Un ensemble comme C, muni de deux opérations qui vérifient toutes ces propriétés (associativité, commutativité, distributivité, existence d’éléments neutres, d’opposés et d’inverses), s’appelle un corps (commutatif)
.
Des corps, nous en connaissons déjà d’autres : le corps R des nombres réels, le corps Q des nombres rationnels,
p
c’est à dire des fractions q , où p ∈ Z et q ∈ N, q 6= 0. Mais il en existe bien d’autres : on pourra par exemple
p
p
vérifier que l’ensemble Q( 2) des nombres réels de la forme a + 2 b, où a et b sont des nombres rationnels,
forme un corps (un sous-corps de R). En fait il suffit de vérifier que le produit de deux nombres de cette forme
est encore de cette forme, et que l’inverse d’un nombre de cette forme est encore de cette forme (voir le début
du chapitre “Polynômes”).
• Construction des nombres complexes
La construction des nombres complexes que nous venons de faire peut sembler assez arbitraire : après tout,
qu’est-ce qui nous prouve que ce nombre i tel que i2 = −1 existe ? Nous pourrions alors procéder autrement :
si on identifie un nombre complexe z = x + i y à un couple ( x, y) de nombres réels, alors nous pourrions définir
directement sur de tels couples une addition et une multiplication par
( x, y) + ( x0 , y0 ) = ( x + x0 , y + y0 ) ; ( x, y) · ( x0 , y0 ) = ( xx0 − yy0 , x y0 + yx0 ).
On vérifie alors directement que l’ensemble des couples de réels muni de ces deux opérations est un corps,
avec comme élément neutre pour l’addition le couple 0 := (0, 0) et comme élément neutre pour la multiplication
1 := (1, 0). Alors, si on identifie le nombre réel x au couple ( x, 0), et en posant i = (0, 1), on voit que ( x, y) = x + i y,
et que i2 = −1. Nous avons donc bien trouvé ainsi un modèle de l’ensemble des nombres complexes basé sur
les couples de nombres réels.
Ainsi, le corps des nombres complexes est un corps plus gros que celui des nombres réels, puisque tout
nombre réel est un nombre complexe d’une forme particulière x = x + i0. Nous avons ainsi défini la structure
des nombres complexes : pour les définir, il suffit de se donner (C, +, ×, 0, 1, i), ains que les règles d’addition
de multiplication que nous avons décrites, avec la règle i2 = −1.
• Unicité du corps des nombres complexes
Il n’y a en fait qu’un seul tel corps commutatif qui contienne les nombres réels et dont les éléments s’expriment avec un nombre fini de nombres réels (plus techniquement, on dit de dimension finie sur le corps
des réels). Il en existe un autre dont les éléments s’expriment avec 4 nombres réels, mais la multiplication
n’y est pas commutative (il s’agit du corps des quaternions), et il n’existe rien d’autre (ce n’est pas du tout
facile à démontrer). Ainsi, le corps des nombres complexes peut être considéré comme une exception. Il a été
découvert assez tardivement (au 16 ème siècle), et il a d’abord servi à résoudre des équations algébriques
comme les équations du troisième degré. On lui a depuis trouvé bien d’autres usages, et on verra qu’il apparaît naturellement dans de nombreux problèmes de géométrie, de physique (pour résoudre des équations
différentielles linéaires), et un peu dans tous les domaines des mathématiques ou de leurs applications.
On pourrait imaginer de se donner d’autres règles que i2 = −1, mais on n’obtiendrait pas un corps, comme le
montre l’exercice suivant.
Exercice 75
Montrer que les « nombres » de la forme a + eb, a, b ∈ R, où l’on exige que e2 = 1 et l’on définit les
opérations d’addition et de multiplication de façon naturelle, compte tenu de la relation e2 = 1, ne
forment pas un « corps commutatif ». (Indication : montrer que le produit de deux tels « nombres » non
nuls peut être nul.)
8.2. Logarithme et Nombres Complexes
La fonction réciproque de l’exponentielle s’appelle le logarithme :
30
Définition 6
Soit z ∈ C∗ . Tout complexe w ∈ C tel que e w = z s’appelle un logarithme de z.
D’après un calcul effectué plus haut, les logarithmes de z sont les complexes ln | z| + iθ , où θ ∈ ar g( z). Si l’on prend
θ = Ar g( z) (l’argument principal de z), on obtient le seul logarithme de z dont la partie imaginaire est dans ]−π, π] :
c’est la détermination principale du logarithme, parfois notée Log z. On a donc la formule :
Log z = ln | z| + i Ar g( z).
En fait, une « vraie » définition mathématique de l’exponentielle (due à Euler) repose sur la notion de limite : pour
tout z ∈ C, la suite
z2
zn
u n ( z) = 1 + z +
+···+
2
n!
z
converge lorsque n → ∞ vers une limite qui n’est autre que e . Retrouver à partir de cette définition toutes les
propriétés de l’exponentielle n’est pas si facile. Ce genre de limite ne sera abordée que dans le cours d’analyse du
second semestre, ou dans le cours de série entières de seconde année.
Exercice 76
1. Calculer les logarithmes de ±1 ± i.
2. Calculer (avec discussion) log z−1 .
8.3. La résolution de Cardan des équations du 3ème degré
On commence par remarquer que la formule du binôme nous donne
(a + b)3 = 3ab(a + b) + a3 + b3 .
Si on pose X = a + b, p = 3ab, q = a3 + b3 , alors ceci s’écrit X 3 = pX + q. Donc, si on trouve deux nombres a et b
tels que p = 3ab et q = a3 + b3 , le nombre X = a + b est une solution de l’équation X 3 = pX + q. On cherche donc
à résoudre p = 3ab et q = a3 + b3 . En écrivant x1 = a3 et b3 = x2 , on trouve x1 + x2 = q et x1 x2 = p3 /27. On trouve
donc x1 et x2 en résolvant l’équation du second degré x2 − qx +
ensuite une solution de l’équation du troisième degré.
p3
27 .
On résout alors cette équation et on obtient
Exercice 77
Vérifiez que cette méthode donne bien la solution de Cardan donnée dans l’introduction.
8.4. Géométrie - D’autres transformations du plan complexe
8.5. Symétries droites
Une autre transformation géométrique simple du plan est la symétrie par rapport à une droite. Nous avons
déjà vu que la symétrie par rapport à l’axe des x peut être représentée par la transformation z 7→ z̄.
De façon générale, la symétrie par rapport à la droite D est la transformation qui laisse les points de D inchangés,
et qui transforme un point z1 6∈ D en un point z2 tel que le segment [ z1 z2 ] soit orthogonal à D et que son milieu
soit sur D . Ainsi, si z0 ∈ D et que eiθ est un vecteur directeur de D , alors en composant successivement z 7→ z − z0 ,
z 7→ ze−iθ , z 7→ z̄, z 7→ zeiθ et z 7→ z + z0 , on obtient une transformation qui préserve la droite D et pour laquelle
l’image z2 d’un point z1 est telle que le milieu de [ z1 z2 ] est sur D et z2 − z1 est orthogonal à D .
En écrivant ce que cela donne, on obtient une transformation
z 7→ e2iθ z̄ + z0 − z̄0 e2iθ ,
c’est à dire une transformation de la forme
z 7→ eiφ z̄ + b, avec b = − eiφ b̄.
Réciproquement, on pourra remarquer que les transformations de la forme z 7→ eiφ z̄ + b, avec b = − eiφ b̄ sont des
symétries.
31
Exercice 78
Vérifier ce dernier point. Déterminez en fonction de φ et b une équation de la droite D .
8.6. Inversions
La dernière transformation intéressante du plan complexe est l’inversion définie pour z 6= 0 par z 7→ 1z .
Elle a la propriété intéressante de mélanger droites et cercles.
Proposition 15
L’inversion transforme
1. Un cercle ne passant pas par 0 en un cercle ne passant pas par 0.
2. Un cercle passant par 0 en une droite ne passant pas par 0.
3. Une droite ne passant pas par 0 en un cercle passant par 0.
4. Une droite passant par 0 en une droite passant par 0
Démonstration
Nous ne démontrerons que le premier point. Les autres se traitent de la même manière et sont laissés à titre d’exercice.
Prenons donc un cercle de centre z0 et de rayon r, dont l’équation est donnée par | z − z0 |2 = r 2 qui, une fois développée
s’écrit :
z z̄ − z0 z̄ − z̄0 z + z0 z̄0 − r 2 = 0,
avec r 2 6= z0 z̄0 , ce qui traduit le fait que le cercle ne passe pas par 0.
1
Soit Z = 1z un point image par l’inversion d’un point du cercle, que nous appelons C 1 . Alors, z = Z
, et Z ∈ C 1 si et
seulement si
1
1
1 1
− z0 − z̄0 + z0 z̄0 − r 2 = 0.
Z Z̄
Z
Z̄
Multiplions le tout par Z Z̄ et divisons par z0 z̄0 − r 2 .
Il vient
z0
1
z̄0
Z Z̄ −
Z−
Z̄ +
= 0.
z0 z̄0 − r 2
z0 z̄0 − r 2
z0 z̄0 − r 2
z̄0
En posant z1 =
, nous trouvons
z0 z̄0 − r 2
Z Z̄ − z1 Z̄ − z̄1 Z + z1 z̄1 − R 2 = 0,
ou nous avons posé
déf
R 2 = z1 z̄1 −
1
z0 z̄0 − r 2
.
Il nous reste à vérifier que cette dernière expression (qui est évidemment réelle) est bien positive, pour voir que Z
appartient bien au cercle de rayon R et de centre z1 . Or,
z1 z̄1 −
1
z0 z̄0 − r 2
=
z0 z̄0 − (z0 z̄0 − r 2 )
et donc
R2 =
(z0 z̄0 − r 2 )2
r2
(z0 z̄0 − r 2 )2
=
r2
(z0 z̄0 − r 2 )2
,
Ê 0.
1
Réciproquement, si Z appartient à ce cercle de centre z1 et de rayon R, alors z = Z
appartient au cercle de centre z0
et de rayon r, car le calcul que nous avons fait dans un sens est exactement similaire à celui que nous ferions dans
l’autre. Et donc tout point du cercle de centre z1 et de rayon R est l’image d’un point d’un cercle, qui ne peut être rien
d’autre que le cercle de départ.
Remarquons que la transformation F de C × R+ dans lui-même qui à (z0 , r 2 ) (centre et carré du rayon du cercle de
³
´
z̄0
r2
départ) associe z1 =
, R2 =
(centre et carré du rayon du cercle d’arrivée) vérifie F ◦ F = I d,
2
2
2
z0 z̄0 − r
(z0 z̄0 − r )
c’est à dire que si on l’applique deux fois, on revient au point de départ. On dit qu’une telle transformation est une
involution. Remarquons cependant que le centre du cercle image n’est pas l’image du centre du cercle.
32
Exercice 79
Vérifier que la transformation F décrite ci-dessus est bien une involution.