Nombres Complexes

Nombres Complexes
Pré-requis :
–Maîtriser la forme algébrique
–Géométrie du Triangle (trigonométrie)
– Savoir résoudre un système linéaire de deux équa-
tions à deux inconnues
Objectifs :
–Savoir démontrer l’inégalité triangulaire
–Maîtriser la forme exponentielle
–Calculer les racines d’un nombre complexe
–Racines énièmes de l’unité
– Linéariser, développer une expression trigonomé-
trique
–Approcher la notion d’ensemble image
–Approcher la notion de bijection
– Connaître, savoir déterminer et savoir exploiter,
l’écriture complexe d’une Translation, d’une Rota-
tion et d’une Similitude Directe
1. Motivations - Contexte historique : Introduction des nombres
complexes
Quand une résolution ne donne pas tous les résultats espérés...
Une technique pour résoudre une équation du troisième degré consiste à en déterminer une solution évidente α .
Cela permet de factoriser par x−α le polynôme de degré trois et de finir la résolution en calculant le discriminant
d’un polynôme de degré 2.
a) Résolvez, selon la méthode exposée ci-dessus, l’équation x3+2x2−4x+1=0
Dans son traité « Ars Magna »(1545), Cardan établit une méthode pour trouver une solution aux équations du
troisième degré. Il se ramène aux équations de la forme x3=px+q et démontre que si le nombre d=³q
2´2
−³p
3´3
est positif ou nul, l’équation admet pour solution le nombre : 3
rq
2+pd+3
rq
2−pd.
b) En utilisant cette méthode, déterminez une solution de l’équation x3= 9 x+ 28. Vérifiez que la solution obtenue
est bien solution de l’équation.
c) Cardan essaye sa méthode sur l’équation ( E ) : x3= 15 x+ 4. Calculez, pour l’équation ( E ), le nombre d=
³q
2´2
−³p
3´3
. Quel est son signe? Peut-on utiliser la méthode de Cardan? Vérifiez que l’équation ( E ) admet
néanmoins 4 pour solution.
Bombelli utilise des « nombres impossibles »
En 1575, Bombelli décide d’utiliser la méthode de Cardan en écrivant une « racine carrée qui a [...] un nom et une
opération différents des autres ». Autrement dit, il s’autorise l’écriture de
p−121
, sans chercher à donner un sens
à ce nombre mais pour l’utiliser comme un outil de calcul.
a) Vérifiez, que si l’on accepte d’écrire le « nombre impossible »p−121, la solution de l’équation
( E ) : x3= 15 x+ 4 s’écrit :
3
p2+11p−1+3 p2−11p−1
. Avec ce « nombre impossible », Bombelli poursuit son
calcul et vérifie que la méthode de Cardan reste valable puisqu’elle permet de trouver une solution réelle de
l’équation.
b) Vérifiez, à partir du développement de ( a+b )
3
et de ( a−b )
3
que (2 +p−1 )
3=
2 + 11
p−1
et que (2 −p−1 )
3=
2−11p−1. Déduisez-en la valeur de 3
p2+11p−1+3 p2−11p−1. Que représente le résultat obtenu?
1

2
Du « nombre impossible »au « nombre imaginaire » : quelques précau-
tions à prendre...
Les mathématiciens vont s’habituer à utiliser ces nombres impossibles dans le cas où ils permettent de trouver
des solutions réelles à une équation. C’est Descartes qui leur donne le nom « nombres imaginaires ».
En 1746, D’Alembert démontre que tous ces nombres peuvent s’écrire sous la forme a+bp−1 , où a et b sont deux
nombres réels. Mais on ne gardera pas la notation utilisant p−1. Voici pourquoi :
a) Recopiez et complétez : « En utilisant la propriété (pa)2=a, on aurait (p−1)2=... »
b) Recopiez et complétez : « En utilisant la propriété papb=pab, on aurait p−1p−1=... »
c) Que conclure ?
Euler, en 1777, définit une notation pour le nombre imaginaire dont le carré est − 1 : i ( i comme imaginaire). C’est
cette notation que nous utiliserons.
2. Définition des nombres complexes
Les nombres complexes sont les nombres de la forme z=x+iy, où x,y∈R, et i est imaginaire.
Les opérations d’addition et de multiplication (notées z+z0 et zz0 ou bien z×z0 , ou encore z·z0 ) sont définies de
manière naturelle, compte tenu de la relation i2=−1 .
Ceci veut dire que
1. (x+iy)+(x0+iy0)=(x+x0)+i(y+y0) ;
2. (x+iy)(x0+iy0)=(xx0−yy0)+i(xy0+yx0).
L’ensemble des nombres complexes est noté C.
On vérifie immédiatement que ces opérations (on dit aussi des lois de composition) ont, comme pour les nombres
réels, les propriétés suivantes
1. Elles sont associatives : pour tout triplet de complexes ( z,z0,z00 ), on a ( z+z0 ) +z00 =z+ ( z0+z00 ) et ( zz ) z00 =
z(z0z00).
2. Elles sont commutatives : pour tout couples de complexes (z,z0), on a z+z0=z0+zet zz0=z0z.
3. La multiplication est distributive par rapport à l’addition : pour tout triplet de complexes ( z,z0,z00 ), on a
z(z0+z00)=zz0+zz00.
4. Le nombre complexe 0 : = 0 + i0 est élément neutre pour l’addition : pour tout couple z∈C , on a z+ 0 =z . De
plus si z=x+ i y est un nombre complexe, alors le nombre complexe −z : =−x+ i( −y ) est son opposé , c’est à
dire z+(−z)=0.
Remarque
Lorsqu’un ensemble E est muni d’une loi de composition interne ~ qui est associative, qui possède un élément
neutre et dont chaque élément de l’ensemble possède un élément symétrique, on dit que ( E,~ ) est un groupe .
Exercice 1
a) On vient de voir que 0 est l’élément neutre pour l’addition. Y-a-t-il un élément neutre pour la multiplica-
tion? Lequel ?
b) On a aussi vu que l’opposé du nombre complexe z=x+i y est −z= −x−i y car z+ ( −z ) = 0. Que serait
l’inverse du nombre complexe z? Existe-t-il ? Quelle est son expression ?
L’inverse d’un nombre complexe znon nul tel qu’il est défini dans l’exercice 1se notre z−1ou bien 1
z, comme pour
les nombres réels.
Remarque
L’existence d’un inverse a une conséquence importante. Le produit de deux nombres complexes non nuls n’est
jamais nul. Démontrons le par l’absurde :
Supposons par l’absurde que z et z0 sont deux nombres complexes tous deux non nuls tels que zz0= 0. Comme

3
z06=0, en multipliant les deux membres par 1/z0, on obtient
z=z.1=z(z01
z0)=(zz0)1 z0=0.1 z0=0,
et donc z=0 ce qui est absurde.
Conclusion : on ne peut pas trouver deux nombres complexes tous deux non nuls tels que leur produit soit
nul.
L’écriture d’un nombre complexe sous la forme z=x+ i y est unique, ce qui veut dire que si z=x+ i y=x0+ i y0 avec
x,x0,y,y0réels, alors x=x0et y=y0. En effet si on écrit
(x+iy)−(x0+iy0)=0=(x−x0)+i(y−y0),
alors on voit que x−x0=y−y0=0 et donc x=x0et y=y0.
Attention : cette propriété d’écriture unique n’est valable que si l’on suppose que les quatre nombres x,x0,y,y0 sont
réels. Ainsi y i =− 1avec y= i, mais − 1 =− 1 + i0, et y i = 0 + i y , mais ceci n’entraîne pas que y= 0et − 1 = 0. Oublier
de vérifier que x,x0,y,y0sont réels dans l’écriture d’unicité est source de nombreuses erreurs.
3. La conjugaison et le module
Lorsque qu’on a un nombre complexe z=x+iy, avec xet yréels, on lui associe son conjugué ¯ z=x−iy.
0
1
i
z
¯
z
On a les propriété suivantes
1. z+¯ zest réel. De plus, x=z+¯
z
2. On appelle xla partie réelle de zet on la note Re(z).
2. z−¯ z est imaginaire pur, et y=−iz−¯
z
2
. On appelle y la partie imaginaire de z et on la note Im ( z ). Atten-
tion : Im(z) est un nombre réel. Ainsi z=Re(z)+iIm(z).
3. Si Im(z)=0, zest réel. On dit qu’il est imaginaire pur si Re(z)=0.
4. Si z=x+ i y , x,y∈R , alors z¯ z=x2+y2 . C’est toujours un nombre réel positif. Sa racine carrée
pz¯
z=px2+y2
s’appelle le module du nombre zet sera notée |z|. Ainsi on a |z|=px2+y2. On a bien sûr |z|=|¯ z|.
Remarquons que si z=x+ i0 est réel, alors |z| = |x| (ici |x| est la valeur absolue du nombre réel x ), et si
z=0+iyest imaginaire pur, alors |z|=|y|.
5. z=0⇐⇒ ¯ z=0⇐⇒ z¯ z=0.
6. Pour un complexe non nul z, l’inverse de zest z−1¯
z
|z|2=¯
z
z¯ z=1 z.
7. Le conjugué de z=x+i y est le nombre complexe
¯
z=x−i y . En particulier on a Re ( z ) =x=z+¯
z
2
et
Im(z)=y=z−¯
z
2i.
8. Un nombre complexe z est réel si et seulement z=¯ z . Un nombre complexe z est imaginaire pur si et
seulement si z=−¯ z.
9. (z+z0)=¯ z+¯ z0,zz0=z.z0,∀n∈N,zn=(z)n. Si de plus z06=0 alors z
z0=z
z0.

4
Exercice 2
Démontrez que z=0⇐⇒ ¯ z=0⇐⇒ z¯ z=0.
Exercice 3
1. À l’aide du carré de la valeur absolue de z, calculer l’inverse de z.
Indication : utiliser les quantités conjuguées.
2. Calculer l’inverse de z=2−i et faire la division de z0=5+2i par z.
Exercice 4
Écrivez sous la forme algébrique les nombres complexes suivants :
z1=(3+2i)(−2+i)+5+3i
5−iz2=(−2+2i)2+5 i−8z3=(x+i y)2×1−i 2x+i y +1avec x,y∈R
4. Plan complexe d’Argand-Cauchy
4.1. Coordonnées cartésiennes
Pour définir un nombre complexe, nous avons vu qu’il suffit de se donner ses parties réelles et imaginaires x et
y , de telle façon que z=x+ i y . On peut donc le représenter par un point de R2 , c’est à dire un point du plan, ou
encore un vecteur. Si on se donne un plan P et un repère ( O,−→ u,−→ v ), on peut associer à ce nombre complexe le point
de coordonnées ( x,y ). Par exemple, 0 sera le point (0 , 0), c’est à dire l’origine du repère O , et 1 sera le point de
coordonnées (1 , 0), i le point de coordonnées (0 , 1). Réciproquement, à un point M du plan de coordonnées ( x,y ) on
lui fait correspondre le nombre complexe x+ i y , qu’on appelle l’affixe de M (ou encore affixe de
−−→
OM ), et qu’on note
zM ou z−−→
OM
. On établit ainsi une "correspondance"
1
entre C et le plan P . Si on veut faire la distinction entre le
nombre complexe zet le point Mqui lui correspond, on appellera [z] le point Mdont l’affixe est z.
Un plan P , muni d’un repère orthonormé direct
2
, en bijection
3
avec les nombres complexes, s’appelle un un plan
d’Argand-Cauchy.
0 1
i
a
ba+ib
R
iR
0 1
i
Re(z)
Im(z)z
R
iR
Exercice 5
1. Placez dans un plan d’Argand-Cauchy les points d’affixes 1+3i;−2+3i;−1−iet 1+i
1−i.
2. On donne ci-dessous le plan d’Argand-Cauchy où sont représentés les points d’affixes z et z0 . Placez
précisément les points d’affixes −z,¯ z,z+z0,z−z0.
1 . En mathématiques, ce type de correspondance s’appelle une bijection : c’est une application qui à tout élément de son ensemble d’arrivée
associe un et un seul antécédent.
2. Un repère (O,−→ u,−→ v) est direct si la mesure principale de l’angle (−→ u,−→ v) est positive.
3 . C’est à dire qu’à chaque nombre complexe, il correspond un unique point du plan et réciproquement. On reviendra sur cette définition en
fin de chapitre.

5
0 1
iz
z0
R
iR
Proposition 1
Si Aet Bont pour affixes zAet zB. Alors :
•le vecteur −−→ AB a pour affixe zB−zA
•le milieu Ide [AB] a pour affixe zI=zA+zB
2
•Soit ~ wet ~ w0les vecteurs d’affixes zet z0et λ∈R. Alors :
a) ~ w+~ w0a pour affixe z+z0
b) λ~ wa pour affixe λz
Ainsi l’addition complexe correspond à l’addition vectorielle, la multiplication par un nombre réel d’un nombre
complexe correspond donc à la multiplication d’un vecteur par un scalaire, le milieu à la moyenne... bref les choses
se passent plutôt bien.
Exercice 6
Soit A(−1−i), B¡2−1
2i¢,C¡5 2+i¢et D¡1 2(−1+i)¢quatre points.
Démontrez d’au moins deux façons différentes que ABCD est un parallélogramme.
Remarque 1
Le théorème de Pythagore nous dit que la longueur du vecteur
−−→
OM de coordonnées ( a,b ) est
pa2+b2
: on
voit donc que le module |z|n’est rien d’autre que la longueur du vecteur d’affixe z.
|~ u|=|z|=OM
~
u
O
z=a+ib
M
a
b