A#4 Complexes

Didier Aribaud
A#4
Complexes
Exercice (12 - 15 minutes)
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal
( ; ; )O u v
, on considère l’application f qui, à tout point M d’affixe
z associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ = u²z + u – 1. (où u désigne un nombre complexe).
1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une translation. Donner alors ses éléments
caractéristiques.
2. Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une rotation d’angle
2
. Exprimer z’ en
fonction de z. Donner alors ses éléments caractéristiques.
Correction
Complexes
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal
( ; ; )O u v
, on considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z
associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ = u²z + u – 1. (où u désigne un nombre complexe).
1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une translation. Donner alors ses éléments
caractéristiques.
z’ = u²z + u – 1
1 - Pour que ce soit l'expression complexe d'une translation, il faut que le coefficient de z soit égal à 1.
C'est-à-dire u² = 1 ou encore u = 1 ou u = – 1.
Si u = 1, l'expression devient z' = z + 1– 1 = z et f est l'identité, c'est-à-dire la transformation qui transforme M en lui-
même.
Si u = – 1, l'expression devient z' = z – 1 – 1 = z – 2, c'est la translation de vecteur –2
u
2. Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une rotation d’angle
2
. Exprimer z’ en
fonction de z. Donner alors ses éléments caractéristiques.
2 – Pour que f soit une rotation d'angle
2
, il faut que le coefficient de z soit égal à
2
i
e
.
Soit à résoudre l'équation :
5
2 4 4 4 4
² ou
i i i i i
i
u e u e u e e e e
Attention, sous forme exponentielle, un nombre complexe s'écrit sous la forme
i
re
avec r positif, donc il faut
transformer
4
i
e
en
54
i
e
!
Pour éviter cette difficulté on pose
i
ue
, et on résout l'équation
2
22
² 2 2
24
ii
i
u e e e k k
ce qui donne, sur le cercle trigonométrique,
4
ou
54
Pour déterminer son centre (Hors barème):
 Cas n°1 :
4
i
ue

Didier Aribaud
On a
422
22
i
u e i
22 2 2 2
' 1 1
2 2 2 2
i
z e z i iz i
on doit résoudre l'équation
2 2 2 2
1 (1 ) 1
2 2 2 2
22
(1 )(1 ) 1 (1 )
22
2 2 2 2
2 1 2 1 1 ( 2 1)
2 2 2 2
1 2 1
22
i i i i
i i i i
i i i i i i
i
 Cas n°2 :
54
i
ue
On a
5422
22
i
u e i
22 2 2 2
' 1 1
2 2 2 2
i
z e z i iz i
on doit résoudre l'équation
2 2 2 2
1 (1 ) 1
2 2 2 2
22
(1 )(1 ) 1 (1 )
22
2 2 2 2
2 1 2 1 1 ( 2 1)
2 2 2 2
1 2 1
22
i i i i
i i i i
i i i i i i
i