Cours de Terminale S /Nombres complexes

Cours de Terminale S /Nombres complexes
E. Dostal
aout 2013

Table des mati`eres
8 Nombres complexes 2
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.3 Op´erations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8.4 Conjugu´e d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
8.5 Module et argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.6 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8.7 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8.8 Equations du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercices ................................................ 12
1

Chapitre 8
Nombres complexes
8.1 Introduction
Histoire : D’un point de vue historique, les nombres complexes sont issus de la recherche de
solutions `a des ´equations du genre : x2=−1intervenant dans la r´esolution des ´equations du
troisi`eme degr´e.
Il n’existe pas de nombre r´eel xdont le carr´e soit −1. Les premiers math´ematiciens pr´etendaient
donc que cette ´equation n’admettait pas de solution.
Cependant, vers le milieu du XVIe si`ecle, J´erˆome Cardan (1501-1576) et ses contemporains
exp´eriment`erent des solutions d’´equations faisant intervenir des racines carr´ees de nombres
n´egatifs.
Euler, quant `a lui, introduisit en 1777, le symbole moderne i. Il ´etablit la c´el`ebre relation :
eiπ =−1
8.2 Le plan complexe
Th´eor`eme 1
Il existe un ensemble not´e C, appel´e ensemble des nombres complexes, qui poss`ede les
propri´et´es suivantes :
•Ccontient l’ensemble des nombres r´eels : R⊂C
•il existe un nombre complexe, not´e itel que i2=−1.
•tout nombre complexe zs’´ecrit de mani`ere unique sous la forme z=x+iy, o`u xet ysont
des nombres r´eels.
Exemple 1. z= 3 + 2i∈C;z2=−5∈R, donc z2∈C;z3=√7−6i∈C; . . .
D´efinition 1 L’´ecriture z=x+iy, o`u x∈Ret y∈Rs’appelle la forme alg´ebrique du
nombre complexe z.
xest la partie r´eelle de z, not´ee ℜ(z), et yest la partie imaginaire de z, not´ee ℑ(z),
2

E. Dostal - 2013 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES
D’apr`es le premier th´eor`eme, on a alors :
Corollaire 2 Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement si ils ont la mˆeme partie
r´eelle et la mˆeme partie imaginaire : soit z=a+ib et z′=a′+ib′, avec a,b,a′et b′quatre
nombres r´eels, alors,
z=z′⇐⇒ a=a′et b=b′
D´efinition 2 (Plan complexe)
Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;~u, ~v)direct.
A tout nombre complexe z=x+iy,x∈R,y∈R, on associe le point Mde coordonn´ees M(x;y).
On dit que zest l’affixe du point M, ou du vecteur −−→ OM ; et que le point M, ou le vecteur −−→ OM
est l’image de z.
O ~u
~v
M(z=x+iy)
x
y
D´efinition 3 Les nombres r´eels sont les affixes des points de l’axe des abscisses, que l’on
appelle donc axe r´eel.
Un nombre complexe dont la partie r´eelle est nulle, z= 0 + iy =iy est appel´e un nombre
imaginaire pur. Les images de ces nombres sont les points de l’axe des ordonn´ees, que l’on
appelle donc axe imaginaire (pur).
Exemple 2. Placer les points A,Bet Cd’affixe respectif : zA=−1−2i,zB= 4 −iet zC=√2 + 3
2i.
D´eterminer les longueurs OA,OB et OC et AB.
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
O ~u
~v
3

E. Dostal - 2013 CHAPITRE 8. NOMBRES COMPLEXES
8.3 Op´erations sur les nombres complexes
Les r`egles de calcul sur les nombres r´eels se prolongent aux nombres complexes.
Exemple 3. Exprimer sous forme alg´ebrique les nombres complexes :
•(2 + 3i) + (−1 + 6i)•(5 + i)−(3 −2i)•(1 + i)(3 −2i)•(4 + i)(−5 + 3i)
•(2 −i)2•(x+iy)(x′+iy′)•(x+iy)2•(2 −3i)(2 + 3i)•(a+ib)(a−ib)
Proposition 3 Soit z1=a+ib et z2=a′+ib′deux nombres complexes, avec a,b,a′et b′
quatre r´eels, et Met Nleur image respective dans le plan complexe.
Alors z=z1+z2= (a+a′) + i(b+b′)a pour image le point Ptel que −−→ OP =−−→ OM +−−→ ON .
De mˆeme, le vecteur −−→ MN =−−→ ON −−−→ OM a pour affixe le complexe z−−→
MN =z2−z1.
O ~u
~v
M(z1)
a
b
N(z2)
a′
b′
P(z1+z2)
a′
b′
a+a′
b+b′
Proposition 4 Soit deux points Aet Bd’affixe zAet zB, alors l’affixe du vecteur −−→ AB est
zb−zA.
Soit ~u et ~v deux vecteurs d’affixe zet z′, alors le vecteur ~u +~v a pour affixe z+z′.
De plus, si k∈R, le vecteur k~u a pour affixe kz.
Exemple 4. Les points A,Bet Cont pour affixe respective −2 + i,3 + 3i,1 + 11
5i.
a) Calculer les affixes des vecteurs −−→ AB et −→ AC.
b) En d´eduire que les points A,Bet Csont align´es.
c) Placer les points A,Bet C.
Exemple 5. Les points A,Bet Cont pour affixe respective 1 + 1
2i,3 2+ 2iet −1−11 2i.
Montrer que les points A,Bet Csont align´es.
Exemple 6. On consid`ere dans le plan complexe les points A,B,Cet Dd’affixe zA= 3+i,zB= 2−2i,
zC= 2iet zD= 1 + 5i.
a) Faire une figure
b) Montrer de deux fa¸cons diff´erentes que ABCD est un parall´elogramme.
Proposition 5 (Inverse d’un nombre complexe)
Tout nombre complexe non nul zadmet un inverse, not´e 1
z.
D´emonstration : Soit z=x+iy un nombre complexe non nul, c’est-`a-dire x6= 0 et y6= 0.
Alors, 1
z=1 x+iy =x−iy (x+iy)(x−iy)=x−iy x2+y2=x x2+y2−iy x2+y2avec x2+y26= 0
Exemple 7. Ecrire sous forme alg´ebrique les nombres complexes :
•1
√3 + 2i•1 + 4i
1−√2i•2 + i√35−i+1
2+ 3i2
•i3•1
i•i4•i5•i6•Exprimer en fonction de n∈Z,zn=in
4