Exemple : = 2 – 5 i. ! Inverse 1 a b i. L’inverse de z, non nul, est = z a 2 +b2 a 2 +b2 1 2 − 5i 2 − 5i 2 5 Exemple : = = 2 = i. 2 + 5i (2 + 5i )(2 − 5i ) 2 − (5i ) 2 29 29 On a multiplié numérateur et dénominateur par le nombre complexe conjugué et utilisé une identité remarquable (valables aussi dans ! ). ! D’autres propriétés : =z z× = = a2 + b2 = = = III. Représentation géométrique " " Dans un repère orthonormal (O ; i ; j ), au nombre complexe z = a+bi, on associe son image, le point M (a ; b). Inversement, on dit qu’un point M(a ; b) a pour affixe z = a +bi. En terme" de#### vecteur, l’image du nombre complexe " " ####" z = a+bi est le vecteur u = OM (a ; b) et l’affixe du vecteur u = OM (a ; b) est z = a+bi. Définition : Soit z = a+ bi d’image M(a ; b). z et On définit le module de z : |z| = OM = a 2 +b 2 (= "z × #### " noté ) On définit un argument de z (non nul) : arg (z) = ( i ; OM ) à 2 près. On appellera Argument de z (noté ) la valeur appartenant à [0 ; 2 [. Propriétés : • | | = | z | et arg ( ) = - arg(z). • Soit A (zA) et B ### (z"B), on a : AB = |zB - zA| et " arg (zB - zA) = ( i ; AB ) à 2 près. IV. Forme algébrique-Forme trigonométrique ! Forme algébrique vers trigonométrique Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = a+bi. On veut écrire z sous la forme trigonométrique : z=[ ] = ( cos )+ i ( sin ) z a b On a : = a 2 +b 2 et = + i = cos + i sin , donc : ρ a2 +b2 a2 +b2 2 2 ! ρ a +b = " # a b et sin θ = "θ tel que : cos θ = a2 +b2 a2 +b2 $ ! Forme trigonométrique vers algébrique Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = [ ]. On veut écrire z sous la forme algébrique. ] = ( cos ) + i ( sin ), donc on pose : On a z = [ !a = ρ cos θ et on a z = a+bi où a et b sont des nombres réels. # $b = ρ sin θ V. Exemple de calculs (Bac STI, 09/2008) Enoncé : Dans le plan complexe , on considère les points A et B d’affixes respectives zA = 3 + i 3 et zB = 3 – i 3 . Question : Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes zA et zB. Réponse : |zA|= |3 + i 3 |= 3 2 +( 3) 2 = 9+3 = 12 = 2 3 . 3 1 3 3 z i= = + + i = cos + i sin . 2 2 2 3 2 3 2 3 On cherche qui vérifie cos On a donc zA = [ 2 3 ; Ecriture trigonométrique Un nombre complexe z aura une écriture unique de la forme [ On appellera cette écriture, écriture trigonométrique de z. z=[ ] = ( cos )+ i ( sin ) ]. π 6 3 = et sin 2 1 = . 2 ]. Remarquons que zB = |zB|=| |=|zA|= 2 3 et arg zB = - arg zA= − π. 6 = π 6 convient. , on a donc : zB = [ 2 3 ; - π 6 ]. Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière. / 2008 ! Produit z × z’ = (a ⋅a’ - b ⋅b’) + (a ⋅b’+a’ ⋅b) i La formule utilise, en particulier, que i2 = -1. Exemple : (3 – i) × (1 + 2 i) = 3 (1 + 2 i) – i (1 + 2 i) = 3 + 3 2 i - i - 2 i2 = (3+ 2 )+ (3 2 -1) i. ! Conjugué Le complexe conjugué de z, est = a – b ⋅i. ! Somme z + z’ = (a+a’) + (b+b’) i (a+a’ est la partie réelle de z+z’ et b+b’, sa partie imaginaire) Exemple : (3 – i) + (1 + 2 i ) = 2 + ( 2 -1) i. Soit z = a+bi ; z’ = a’+b’i, deux nombres complexes (a, b, a’ et b’ réels) ! Egalité de complexes Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales. z = z’ ⇔ a = a’ et b = b’. En particulier : z = 0 ⇔ a = 0 et b = 0. II. Opérations Exemples : 2 + 3 i ; 3i ; 5 ; 0. En prenant b = 0, on remarque qu’un nombre réel est en particulier un nombre complexe. ( ! ⊂ ! ). Un nombre complexe z s’écrit sous la forme z = a+ b ⋅i (ou a+b ⋅ j) où a et b sont des nombres réels et où i (ou j) est un nombre complexe qui vérifie i2 = -1 (ou j2 = -1). N.B. i étant aussi la lettre qui représente l’intensité, on peut utiliser la lettre j pour ne pas les confondre. Cette écriture est appelée écriture algébrique d’un nombre complexe. a est appelée partie réelle de z et b, partie imaginaire de z. L’ensemble des nombres complexes est noté ! . I. Définition Les nombres complexes