Les nombres complexes

Les nombres complexes
Formation IMAC, Ann´ee 2003-2004
L. Albera
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 Construction de 2
3 Conjugu´e et module d’un nombre complexe 3
4 Interpr´etation g´eom´etrique des nombres complexes 4
5 Exponentielle complexe 5
6 Formules d’Euler 5
7 Les ´equations de degr´e 25
8 S´eries complexes 6
1

1 Introduction
On sait que certaines ´equations de degr´e 2 `a coefficients r´eels n’admettent pas de
solution r´eelle. On se propose de chercher un ensemble muni d’op´erations permettant
les calculs habituels, not´e , contenant les solutions de toute ´equation de degr´e 2 `a
coefficients r´eels ;
– puisque tout r´eel αest solution d’au moins une ´equation de degr´e 2, doit
contenir ;
– la plus simple des ´equations de degr´e 2 n’admettant pas de solution r´eelle est
l’´equation z2+ 1 = 0 soit z2=−1. doit donc contenir un ´el´ement1not´e j
(´egalement not´e i) ;
– afin de pouvoir mener les calculs, on choisit d’utiliser les op´erations habituelles
dans , en consid´erant j comme un ´el´ement `a part.
On d´ecide alors de prendre pour l’ensemble {x+ j y|(x, y)∈2}(en bijection
avec 2), qu’il nous reste `a munir d’op´erations compatibles d’une part avec les
op´erations habituelles dans (consid´erant j comme un ´el´ement `a part) et d’autre
part avec l’´egalit´e j2=−1. Soit z=x+ j yet z0=x0+ j y0dans avec x,y,x0,y0
r´eels :
– la somme de zet z0est donn´ee par :
(x+ j y) + (x0+ j y0) = (x+x0) + j (y+y0)
soit en termes de couples dans 2:
(x, y) + (x0, y0) = (x+x0, y +y0)
– le produit de zet z0est donn´e par :
(x+ j y) (x0+ j y0) = (xx0) + j (xy0) + j (yx0) + j (y) j (y0)
= (xx0) + j (xy0+yx0) + j2(yy0)
= (xx0−yy0) + j (xy0+yx0)
soit en termes de couples dans 2:
(x, y) (x0, y0) = (xx0−yy0, xy0+yx0)
2 Construction de
D´efinition 1 L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble 2muni des deux
lois suivantes :
– l’addition : (a, b) + (a0, b0) = (a+a0, b +b0)
– la multiplication (a, b) (a0, b0) = (aa0−bb0, ab0+ba0)
1En fait, ce n’est pas dans la r´esolution de l’´equation z2+ 1 = 0 que j est intervenu pour la
premi`ere fois. C’est `a l’occasion de la r´esolution d’une ´equation de degr´e 3 que des alg´ebristes italiens
de la Renaissance – Cardan (1501-1576) puis Bombelli (1526-1572) – s’enhardissent `a consid´erer
des racines carr´ees de nombres n´egatifs et `a ´etablir des r`egles de calcul avec ces nouveaux objets.
2

D`es lors l’ensemble muni de l’addition et de la multiplication est appel´e corps
des nombre complexes.
Proposition 1 Tout nombre complexe z∈s’´ecrit de mani`ere unique z=a+ j b
avec (a, b)∈2. Cette forme est appel´ee la forme alg´ebrique ou cart´esienne de
z. Le r´eel aest la partie r´eelle de zet se note Re(z);best la partie imaginaire
de zet se note Im(z);
Remarquons que zest r´eel si et seulement si Im(z) = 0, alors que zest appel´e
imaginaire pur lorsque Re(z) = 0.
3 Conjugu´e et module d’un nombre complexe
D´efinition 2 Soit z∈avec z=a+ j b. On appelle conjugu´e de zle nombre
complexe z∗=a−jb(not´e ´egalement ¯z).
On a alors les propri´et´es suivantes :
1. (z∗)∗=z;
2. z+z∗= 2Re(z) et z−z∗= 2jIm(z) ;
3. zz∗=z∗z=a2+b2.
4. (z+z0)∗=z∗+z0∗ ;
5. (zz0)∗=z∗z0∗ ;
6. si z06= 0 alors z
z0∗=z∗ z0∗ ;
Remarquons que zest r´eel si et seulement si z=z∗, alors que zest appel´e
imaginaire pur si et seulement si z=−z∗.
D´efinition 3 Soit z∈avec z=a+ j b. On appelle module de zle nombre r´eel
positif ou nul |z|=√a2+b2.
On a alors les propri´et´es suivantes :
1. |z|=|z∗|et |z|2=zz∗;
2. |zz0|=|z||z0|et 
z
z0=|z| |z0|;
3. |z+z0| ≤ |z|+|z0|(in´egalit´e triangulaire) avec ´egalit´e si et seulement si z= 0
ou z0=tz (t∈+).
Notons qu’il est impossible d’ordonner les ´el´ements de contrairement aux
´el´ements de : les symboles ≤et ≥ne peuvent donc pas ˆetre utilis´es pour des
nombres complexes.
3

4 Interpr´etation g´eom´etrique des nombres com-
plexes
Munissant le plan d’un rep`ere orthonorm´e, on associe alors au nombre complexe
z=a+ j ble point Mde coordonn´ees (a, b). On dit que Mest l’image de zet
qu’inversement, zest l’affixe de M. En outre, pour tout nombre complexe znon nul,
de module |z|=r, il existe un r´eel θsatisfaisant la relation z=r(cos (θ) + j sin (θ)).
De ce fait, zest enti`erement d´etermin´e par la donn´ee de ret θ.
D´efinition 4 Le nombre r´eel θ, d´efini modulo 2π, est appel´e argument de z, et
not´e arg (z). La forme z=r(cos (θ) + j sin (θ)) est la forme trigonom´etrique de
z.
Notons que zest un nombre r´eel si et seulement si arg (z) = 0 [π] et2zest un
imaginaire pur si et seulement si arg (z) = π
2[π]. Remarquons ´egalement l’´equivalence
entre les trois propri´et´es suivantes, lorsque zet z0sont deux nombres complexes non
nuls :
1. z=z0;
2. Re(z) = Re(z0) et Im(z) = Im(z0) ;
3. |z|=|z0|et arg (z) = arg (z0) [2π].
D’autre part, nous avons les propri´et´es suivantes, o`u zest un nombre complexe
non nul :
1. arg (z∗) = −arg (z) [2π] ;
2. arg (zz∗) = 0 [2π] ;
3. arg (zz0) = arg (z) + arg (z0) [2π] ;
4. arg z
z0= arg (z)−arg (z0) [2π].
2Rappelons la notatation classique θ=π
2[2π] = π 2+ 2kπ (o`u k∈) pour indiquer que l’angle
θest ´egal `a π
2modulo 2π.
4

Nous terminerons cette section par la formule dite de Moivre :
Th´eor`eme 1 Formule de Moivre : pour tout θ∈et tout n∈, on a
(cos (θ) + j sin (θ))n= cos (nθ) + j sin (nθ).
5 Exponentielle complexe
On d´efinit l’exponentielle complexe de module 1, not´ee ejθ, comme une bijection
de [0,2π[ sur l’ensemble des nombres complexes de module 1 telle que :
ejθ= cos (θ) + j sin (θ)
ej(θ+θ0)= ejθejθ0
ejnθ =ejθn
De mani`ere plus g´en´erale, pour tout nombre complexe z=x+ j y,xet yr´eels, on
d´efinit l’exponentielle complexe ez= ex+j yde module exet d’argument ytelle que :
∀z, z0∈,ez+z0= ezez0
6 Formules d’Euler
Les formules exponentielles ejθ= cos (θ) + j sin (θ) et e−jθ= cos (θ)−j sin (θ)
m`enent aux formules d’Euler :
Th´eor`eme 2 Formules d’Euler :
cos (θ) = 1
2ejθ+ e−jθ
sin (θ) = 1
2j ejθ−e−jθ
Ces relations sont tr`es utiles notamment dans la lin´earisation d’un cosinus ou d’un
sinus ´elev´e `a une certaine puissance.
7 Les ´equations de degr´e 2
En d´efinissant la racine carr´ee d’un nombre complexe z=r(cos (θ) + j sin (θ)) =
rejθpar :
√z=√r cos θ
2!+ j sin θ 2!!=√rejθ
2
(o`u θest dfini modulo π) on est `a pr´esent en mesure de r´esoudre toute ´equation de
degr´e 2 `a coefficients complexes.
Th´eor`eme 3 On consid`ere, dans , l’´equation :
az2+bz +c= 0 (1)
o`u a∈∗,b∈et c∈. Soit ∆ = b2−4ac le nombre complexe discriminant de
l’´equation, et notons δune racine carr´ee de ∆, alors :
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