Cours 4° Chapitre 7 Puissances d`exposants

Chapitre 7
PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER RELATIF
A- PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER RELATIF D'UN
NOMBRE
En particulier : a −1 =
1
car a1 = a .
a
Exemples :
3−2 =
1
1
1
=
= .
2
3
3× 3 9
−3
Pour bien commencer : Activités 1 , 2 et 3 pages 65 et 66.
1- Exposant entier positif
Définition :
Si a est un nombre relatif et si n est un entier strictement positif,
alors a n désigne le produit de n facteurs égaux à a.
a n = a
× a
× ... ×a
−3
=
1
( −2 )
=
3
3
3- Signe d'une puissance d'exposant entier relatif d'un nombre
Propriétés :
n facteurs
Par convention on a : a = 1 (avec a ≠ 0).
Exemples :
Une puissance d'un nombre positif est un nombre positif.
Une puissance d'exposant pair d'un nombre négatif est un nombre positif.
Une puissance d'exposant impair d'un nombre négatif est un nombre
négatif.
L'exposant de ( −5) est pair donc ( −5) est positif : ( −5 ) = 625 .
4
4
3
 2
L'exposant de  −  est impair donc
 3
a n se lit : "a puissance n" ou "a exposant n" (n est la puissance ou l'exposant).
Deux cas particuliers : a 2 se lit "a au carré" et a 3 se lit "a au cube".
( −0, 2 )
( −213,8 )
4
2 2 2 2 16
2
  = × × × =
.
3 3 3 3 81
3
4
3
 2
 −  est négatif :
 3
3
8
 2
−  = − .
3
27


4- Méthodes de calcul
Exemples :
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 .
1
1
1
=
=− .
( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) −8 8
1
7 7 7 343
4
7
=  = × × =
  =
.
3
4 4 4 64
7
4 4
 
7
Pour s'entraîner : Exercice 10 page 73.
0
Vocabulaire :
( −2 )
3
= ( −0, 2 ) × ( −0, 2 ) × ( −0, 2 ) = −0, 008 .
0
= 1.
Calcul littéral
a désigne un nombre relatif :
a 2 × a 3 = a
× a × a
×
a ×a = a 2 + 3 = a 5
2 facteurs
3 facteurs
Exemple numérique
52 × 53 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55
5 facteurs
Pour s'entraîner : Exercices 3 et 4 page 73.
2- Exposant entier strictement négatif
Définition :
a désigne un nombre relatif non nul :
2 facteurs
2
a
a×a
1
1
=
=
= 3 = a −3
5
a
a×a×a a
×
a × a × a
a ×a
2 facteurs
( −2 )
( −2 )
2
5
=
−2 × −2
−2 × −2 × −2 × −2 × −2
=
1
( −2 )
3
= ( −2 )
−3
5 − 2 = 3 facteurs
5 facteurs
Si a est un nombre relatif non nul et si n est un entier strictement positif,
alors a − n est l'inverse de a n .
1
a −n = n
a
a et b représentent deux nombres relatifs.
( ab )
2
= ab × ab = a × a × b × b = a 2 b 2
( 3x )
2
= 3x × 3x = 3 × 3 × x × x = 32 x 2 = 9x 2
Pour s'entraîner : Exercices 17 et 22 page 73.
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B- PUISSANCES DE 10
3- Notation scientifique d'un nombre décimal non nul
Pour bien commencer : Activités 4, 5 et 6 pages 66 et 67.
Définition :
1- Ecriture décimale
La notation scientifique ou écriture scientifique d'un nombre décimal est l'écriture de ce
nombre sous la forme a × 10n avec a un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant
la virgule et n un entier relatif.
Propriétés : Pour tout entier n positif non nul :
Exemples :
×10
× ... ×
10 = 100...0
10 = 10
.
n
10
−n
34000000 = 3, 4 × 10000000 = 3, 4 ×107
n zéros
n facteurs
−0, 000047 = −4, 7 × 0, 00001 = −4,7 × 10−5
n chiffres
1
1
= n =
= 0
,
0...0
1
=
0,
0
..
. 01 .
10
10
×
10
× ... ×
10
n zéros
4 chiffres
106 = 1000000
10−4 = 0,
0001
=
0,
0001
.
6 zéros
(on peut aussi noter −4, 7.10−5 ).
Avec la calculatrice :
n facteurs
Exemples :
(on peut aussi noter 3, 4.107 ).
4 zéros
Pour s'entraîner : Exercices 30 et 31 page 74.
Les calculatrices scientifiques permettent d'afficher le résultat d'un calcul directement en
notation scientifique. Il suffit pour cela de sélectionner le mode Sci avant de faire le calcul.
Pour s'entraîner : Exercices 54, 57, 64(A) et 65(B) page 76.
Pour approfondir : Exercices 90 page 78.
2- Opérations sur les puissances de 10
Propriétés : Pour tout entier n et p positif :
10n
n p
n×p
× = 10n − p
(10 ) = 10 .
10 n × 10p = 10 n + p
p
10
Exemples :
3
104
10 2 × 105 = 10 2 + 5 = 107
= 104 −3 = 101 = 10
(105 ) = 105×3 = 1015
103
2
10−2
3 + −5
−6 × 2
103 × 10−5 = 10 ( ) = 10−2 = 10−2 −( −6) = 104
(10−6 ) = 10( ) = 10−12 .
−6
10
Pour s'entraîner : Exercice 44 page 75.
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