Cours 4° Chapitre 7 Puissances d`exposants

Classe de 4° - Collège Madame de Sévigné Page 1 sur 2 Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif""
Chapitre 7
PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER RELATIF
A- PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER RELATIF D'UN
NOMBRE
Pour bien commencer : Activités 1 , 2 et 3 pages 65 et 66.
1- Exposant entier positif
Définition :
Si a est un nombre relatif et si n est un entier strictement positif,
alors
n
a
désigne le produit de n facteurs égaux à a.
factenurs
n
a a a
...
a
= × × ×
Par convention on a :
0
a
1
=
(avec a ≠ 0).
Vocabulaire :
n
a
se lit : "a puissance n" ou "a exposant n" (n est la puissance ou l'exposant).
Deux cas particuliers :
2
a
se lit "a au carré" et
3
a
se lit "a au cube".
Exemples :
4
3 3 3 3 3 81
= × × × =
. 
( ) ( ) ( ) ( )
3
0,2 0,2 0,2 0,2 0,008
− = − × − × − = − .
4
2 2 2 2 2 16
3 3 3 3 3 81
  = × × × =
. 
( )
0
213,8 1
− =
.
Pour s'entraîner : Exercices 3 et 4 page 73.
2- Exposant entier strictement négatif
Définition :
Si a est un nombre relatif non nul et si n est un entier strictement positif,
alors
n
a
−
est l'inverse de
n
a
.
n
n
a
a
1
−
=
En particulier :
1
a
1
a
−
=
car
1
a a
=
.
Exemples :
22
1 1 1
3
3 3 9
3
−
= = =
×
. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3
1 1 1 1
2
2 2 2 8 8
2
−
− = = = = −
− × − × − −
−.
3 3
3
4 1 7 7 7 7 343
7 4 4 4 4 64
4
7
−
= = = × × =
.
Pour s'entraîner : Exercice 10 page 73.
3- Signe d'une puissance d'exposant entier relatif d'un nombre
Propriétés :  Une puissance d'un nombre positif est un nombre positif.
 Une puissance d'exposant pair d'un nombre négatif est un nombre positif.
 Une puissance d'exposant impair d'un nombre négatif est un nombre
négatif.
Exemples :  L'exposant de
( )
4
5
−
est pair donc
( )
4
5
−
est positif :
( )
4
5 625
− = .
 L'exposant de
3
2
3
− est impair donc
3
2
3
− est négatif :
3
2 8
3 27
− = − .
4- Méthodes de calcul
Calcul littéral Exemple numérique
a désigne un nombre relatif :
facteurs facteur
2 3 2 3 5
23
5
s
facteurs
a a a a a a a a a
+
× = × × × × = =
2 3 5
5 5 5
5
55 5 5
× = × × × × =
a désigne un nombre relatif non nul :
2
5
a a
a=a×
facte2urs
a a×
facteurs
3
5 2 3
2facteurs
facteurs
3
5
a
a a a
1 1
a
a a a
−
− =
= = =
× ×
× × ×
( )
( )
2
5
2
2
2
−
=
−
−
2×−
2−2×−
( ) (
)
3
3
222
2
1
2
−
=
− − −× × ×
=−
−
a et b représentent deux nombres relatifs.
( )
2
2 2
ab ab ab a a b b a b
= × = × × × =
( )
2
2 2 2
3x 3x 3x 3 3 x x 3 x 9x
= × = × × × = =
Pour s'entraîner : Exercices 17 et 22 page 73.

Classe de 4° - Collège Madame de Sévigné Page 2 sur 2 Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif""
B- PUISSANCES DE 10
Pour bien commencer : Activités 4, 5 et 6 pages 66 et 67.
1- Ecriture décimale
Propriétés : Pour tout entier n positif non nul :
n
n zéros
nfacteurs
10 10 10 ... 10
00...0
1= × × × =
.
nchiffres
nn
n zéros
nfacteurs
0 0...0 0
1 1
10 , 1 0,
10 10 ... 10
..
1
. 01
0
−= = = =
× × ×
.
Exemples : 
6
6zéros
10 1000000
=
4chiffres
4
4zéros
10 0,0001 0, 0001
−= =
.
Pour s'entraîner : Exercices 30 et 31 page 74.
2- Opérations sur les puissances de 10
Propriétés : Pour tout entier n et p positif :
n p n p
10 10 10
+
× = 
n
n p
p
10
10
10
−
× =
(
)
p
n n p
10 10
×
=
.
Exemples :
2 5 2 5 7
10 10 10 10
+
× = = 
44 3 1
3
10
10 10 10
10
−
= = =
(
)
3
5 5 3 15
10 10 10
×
= =
(
)
3 5
3 5 2
10 10 10 10
+ −
− −
× = =
( )
22 6
4
6
10
10 10
10
−− − −
−
= =
(
)
( )
26 2
6 12
10 10 10
− ×
− −
= = .
Pour s'entraîner : Exercice 44 page 75.
3- Notation scientifique d'un nombre décimal non nul
Définition :
La notation scientifique ou écriture scientifique d'un nombre décimal est l'écriture de ce
nombre sous la forme
n
a
10
× avec a un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant
la virgule et n un entier relatif.
Exemples :
7
34000000 3,4 10000000 3,4 10
= × = × (on peut aussi noter
7
3,4.10
).
5
0,000047 4,7 0,00001 4,7 10
−
− = − × = − × (on peut aussi noter
5
4,7.10
−
− ).
Avec la calculatrice :
Les calculatrices scientifiques permettent d'afficher le résultat d'un calcul directement en
notation scientifique. Il suffit pour cela de sélectionner le mode Sci avant de faire le calcul.
Pour s'entraîner : Exercices 54, 57, 64(A) et 65(B) page 76.
Pour approfondir : Exercices 90 page 78.