Chapitre 3 : puissances d`exposant entier relatif

Chapitre 3 : puissances d’exposant entier relatif
I- Puissance d’un nombre relatif
a) Puissance d’exposant entier positif
Définition : Soit a un nombre relatif et n un entier positif.
est une puissance du nombre a d'exposant n et se lit « a puissance n » ou « a exposant n »et est défini
par :
-  
-  
- Si n , alors est le produit de n facteurs tous égaux à a :        .
Remarque :   ; avec n 
  ; pour entier relatif n.
Vocabulaire : a² se lit « a au carré » ; a² est le carré de a.
 se lit « a au cube » ;  est le cube de a.
Exemples :          , se lit « trois exposant quatre ».
Remarque : la puissance d’un nombre négatif d’exposant un nombre impair est un nombre négatif.
 .
b) Puissance d’exposant entier négatif
Définition : Soit a un nombre relatif non nul et n un entier positif non nul.
Le nombre est l’inverse du nombre , c’est-à-dire  
.
Cas particulier : pour a ,  
.
Exemple :  
.
II- règles de calcul
Propriétés : Soit a et b deux nombres non nuls, m et n deux entiers relatifs.

III- Calcul d’une expression utilisant les puissances
Propriétés :
- dans une expression sans parenthèses, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications
et les divisions, enfin les additions et les soustractions.
- En présence de parenthèse, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
Exemple : A = 2 –  B = 2   C = (2 – 3)²
A = 2 – 9 B = 2   C = (–1)²
A= –7 B = 18 C = 1
Remarques : (–5)²=(–5)x(–5)=25 et –5²=–(5x5) on a donc : (–5)²  –5²
IV- Cas particulier des puissances de 10
a) Calcul d’une puissance de 10
Propriété : soit n un nombre entier positif non nul.
 est le produit de n facteurs tous égaux à 10 :         .
Propriété : soit n un nombre entier positif non nul.
 est l’inverse du nombre :  
    .
Propriété : pour multiplier un nombre en écriture décimale :
- Par , on décale la virgule de n rangs vers la droite.
- Par , on décale la virgule de n rangs vers la gauche.
En complétant éventuellement avec des zéros.
b) règles de calcul.
Propriétés : Soit m et n deux entiers relatifs.
Exemples :

V- écriture scientifique d’un nombre décimal.
Remarque : tout nombre décimal peut s’écrire sous différentes formes utilisant des puissances de 10.
Exemple : 12 835 000 = 12 835 x  x 
Définition : l’écriture scientifique d’un nombre décimal positif est l’unique écriture de la forme a x 
dans laquelle : a est un nombre décimal tel que 1    ;
n est un nombre entier relatif.
Exemples : l’écriture scientifique du nombre 12 835 000 est 1, 283 5 x .
l’écriture scientifique du nombre 0, 003 125 est 3, 125 x .