CHAPITRE 5 : PUISSANCES I.- PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER a) Exposant positif Définition : Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a : an = a × a × … × a n facteurs an est la puissance d'exposant n du nombre a et se lit « a exposant n » ou « a puissance n ». Exemples : • 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 • (– 4,5)3 = (– 4,5) × (– 4,5) × (– 4,5) = – 91,125 1 4 1 1 1 1 1 • = × × × = 2 2 2 2 2 16 Convention : a étant un nombre relatif, on a : a1 = a et a0 = 1, pour a ≠ 0. Exemples : 1 0 (– 2,1)1 = – 2,1 =1 5 () () b) Exposant négatif Définition : Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a non nul : n 1 1 1 a–n = n = = a×a×…×a a a () n facteurs a–n est la puissance d'exposant – n du nombre a et l'inverse du nombre an. Exemples : 2 4 1 1 1 1 1 1 −4 -2 • 3 = 2 = = • (−1,8) = = = 4 9 3 −1,8 10,4976 (−1,8) 3 −3 3 −5 2 1 3 27 1 1 • = = = • = =45=1024 3 5 3 2 8 4 2 1 3 4 () () () () ( ) () () c) Signe d'une puissance Propriété : Pour tout nombre entier relatif n, Si a est positif alors an est positif. Si a est négatif alors an est positif lorsque l'exposant n est pair, et négatif lorsque l'exposant n est impair. Exemples : • 7 est un nombre positif donc 7-5 est positif. • – 3 est négatif et 8 est pair donc (– 3)8 est positif. • – 7,1 est négatif et 4 est pair donc (– 7,1)–4 est positif. • – 4 est négatif et 11 est impair donc (– 4)11 est négatif. 1 1 −5 • − est négatif et 5 est impair donc − est négatif. 2 2 • • ( ) II.- PUISSANCES DE 10 a) Écriture décimale Définition : Pour tout nombre entier n positif non nul, - l'écriture décimale de 10n comporte n zéros après le 1 : 10n = 10 × 10 × … × 10 = 100...0 n facteurs n zéros - l'écriture décimale de 10-n comporte n zéros avant le 1 : 1 10-n = = 0,00...01 10 n n zéros Exemples : • 103 = 1 000 • 105 = 100 000 • • 10-2 = 0,01 10-6 = 0,000 001 c) Calculs avec des puissances de 10 Propriétés : Si n et p sont deux nombres entiers relatifs : • 10n×10 p =10n+ p Exemples : • 103×10 11=10 3+ 11=10 14 9 10 • =10 9−6=103 6 10 • (105 )3=105×3=1015 • 10 n =10 n− p p 10 • • • • −7 5 n p n× p (10 ) =10 −7+ 5 −2 10 ×10 =10 =10 −2 10 =10−2−(−13)=1011 −13 10 (10−2 )−3=10−2×(−3)=106 III.- ÉCRITURE SCIENTIFIQUE Définition : La notation scientifique d'un nombre décimal non nul est la seule écriture de ce nombre sous la forme a×10n où : • a est un nombre décimal dont la distance à zéro est comprise entre 1 (inclus) et 10 (exclus) ; • n est un entier relatif. Exemples : • 3,7 × 105 est la notation scientifique du nombre 370 000. • – 2,1 × 10–3 est la notation scientifique du nombre – 0,002 1. Règle : Soit n un nombre entier positif non nul. Multiplier un nombre par 10n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite. Multiplier un nombre par 10-n revient à décaler la virguler de n rangs vers la gauche. Exemples : • 208,641 × 10² = 20 864,1 • 37,1 × 10-3 = 0,037 1