Nombres relatifs en écriture décimale

CHAPITRE 5 : PUISSANCES
I.- PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER
a) Exposant positif
Définition :
Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a :
an = a × a × … × a
n facteurs
an est la puissance d'exposant n du nombre a et se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Exemples :
•35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
•(– 4,5)3 = (– 4,5) × (– 4,5) × (– 4,5) = – 91,125
•
(
1
2
)
4
=1
2×1 2×1 2×1 2=1 16
Convention :
a étant un nombre relatif, on a : a1 = a et a0 = 1, pour a ≠ 0.
Exemples :
(– 2,1)1 = – 2,1
(
1
5
)
0
=1
b) Exposant négatif
Définition :
Pour tout nombre entier n positif non nul, et pour tout nombre relatif a non nul :
a–n =
1
an
=
1
a×a×…×a
=
(
1
a
)
n
n facteurs
a–n est la puissance d'exposant – n du nombre a et l'inverse du nombre an.
Exemples :
•3-2 =
1
32
=
(
1
3
)
2
=
1
9
•
(
2
3
)
−3
=1
(
2
3
)
3=
(
3
2
)
3
=27
8
•
(−1,8)−4=1
(−1,8)4=
(
1
−1,8
)
4
=1
10,4976
•
(
1
4
)
−5
=1
(
1
4
)
5=45=1024
c) Signe d'une puissance
Propriété :
Pour tout nombre entier relatif n,
•Si a est positif alors an est positif.
•Si a est négatif alors an est positif lorsque l'exposant n est pair,
et négatif lorsque l'exposant n est impair.
Exemples :
•7 est un nombre positif donc 7-5 est positif.
•– 3 est négatif et 8 est pair donc (– 3)8 est positif.
•– 7,1 est négatif et 4 est pair donc (– 7,1)–4 est positif.
•– 4 est négatif et 11 est impair donc (– 4)11 est négatif.
•
−1
2
est négatif et 5 est impair donc
(
−1
2
)
−5
est négatif.

II.- PUISSANCES DE 10
a) Écriture décimale
Définition :
Pour tout nombre entier n positif non nul,
- l'écriture décimale de 10n comporte n zéros après le 1 :
10n = 10 × 10 × … × 10 = 100...0
n facteurs n zéros
- l'écriture décimale de 10-n comporte n zéros avant le 1 :
10-n =
1
10n
= 0,00...01
n zéros
Exemples :
•103 = 1 000
•105 = 100 000
•10-2 = 0,01
•10-6 = 0,000 001
c) Calculs avec des puissances de 10
Propriétés :
Si n et p sont deux nombres entiers relatifs :
•
10n×10p=10n+p
•
10n
10 p=10n−p
•
(10n)p=10n×p
Exemples :
•
103×1011=103+11=1014
•
109
106=109−6=103
•
(105)3=105×3=1015
•
10−7×105=10−7+5=10−2
•
10−2
10−13 =10−2−(−13)=1011
•
(10−2)−3=10−2×(−3)=106
III.- ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
Définition :
La notation scientifique d'un nombre décimal non nul est la seule écriture de ce nombre sous la forme
a×10n
où :
•a est un nombre décimal dont la distance à zéro est comprise entre 1 (inclus) et 10 (exclus) ;
•n est un entier relatif.
Exemples :
•3,7 × 105 est la notation scientifique du nombre 370 000.
•– 2,1 × 10–3 est la notation scientifique du nombre – 0,002 1.
Règle : Soit n un nombre entier positif non nul.
Multiplier un nombre par 10n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite.
Multiplier un nombre par 10-n revient à décaler la virguler de n rangs vers la gauche.
Exemples :
•208,641 × 10² = 20 864,1
•37,1 × 10-3 = 0,037 1