Puissances I. Exposant strictement positif

Puissances
I. Exposant strictement positif
Notation Soient
a
un nombre et
n
un entier strictement positif.
On note
n
a
le produit de
n
facteurs égaux au nombre
n
a
.
facteurs égaux
...
n
n
a a a a
= × × ×
n
a
se lit «
a
exposant n ».
2
a
se lit «
a
au carré ».
3
a
se lit «
a
au cube ».
Exemples
10
2
est le produit de 10 facteurs égaux à 2.
10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1024
=×××××××××=
2
0,5 0,5 0,5 0,25
= × =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
− = − × − × − × − = × × × =
3
5 5 5 5 125
= × × =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
1 1 1 1 1 1 1
− = − × − × − × − × − = −
2
1 1
=
2
2 4
=
2
3 9
=
2
4 16
=
2
5 25
=
2
6 36
=
2
7 49
=
2
8 64
=
2
9 81
=
2
10 100
=.
Remarque Ne pas confondre
...
n
a a a a
= × × ×
et
...
a n a a a
× = + + +
.
Cas particuliers Pour tout entier
n
strictement positif,
0 0
n
=
et
1 1
n
=
Pour tout nombre
a
,
1
a a
=
Propriété Si le nombre
a
est positif alors le nombre
n
a
est positif.
Si le nombre
a
est négatif - et si
n
est pair alors le nombre
n
a
est positif.
- et si
n
est impair alors le nombre
n
a
est négatif.
Exemples
( )
55
2 2 32
− = − = −
( )
12 12
1 1 1
− = =
II. Opérations sur les puissances et exposant négatif
1. Règles de calcul
facteurs facteurs
facteurs
... ...
m p m p
m p
m p
a a a a a a a a a
+
+
× = × × × × × × × =

facteurs
facteurs
...
...
m
m
p
p
a a a a a
a a a a
× × ×
= =
× × ×
a×... a× ×
facteurs facteurs
...
pm p
a a a
a
−
× × × ×
a×... a× ×
facteurs
m p
p
a
−
= (si m>p)
( )
termes
...
facteurs
...
p
p
m m m m m m m m p
p
a a a a a a
+ + + ×
= × × × = =
( )
facteurs et facteurs facteurs facteurs
... ... ...
n
n n
n a n b n n
a b a b a b a b a a a b b b a b
× = × × × × × × = × × × × × × × = ×
...
... ...
n
n
n
a a a a a a a a
b b b b b b b b
× × ×
  = × × × = =
  × × ×
En résumé :
Exemples
5 2 5 2 7
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+
× = × × × × × × = =
4
3
3 3
3=3×3×3
3× 3×3×
4 3 1
3 3 3
−
= = =
(
)
3
2 2 2 2 2 2 2 2 3 6
4 4 4 4 4 4 4
+ + ×
= × × = = =
( ) ( )
2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 9
x x x x x x x x
= × = × × × = × × × = × =
44
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
×××
= × × × = = =
×××
2. Exposant négatif
Par convention Pour tout nombre
a
non nul,
0
1
a
=
.
(En effet
0
1
m
m m m
a
a a
a
−
= = =
)
Notation Soient
a
un nombre non nul et
n
un entier strictement positif.
On note
n
a
−
l’inverse de
n
a
.
1
n
n
a
a
−
=
(En effet
0
0
1
n n
n n
a
a a
a a
− −
= = = )
Produit de puissance
m p m p
a a a
+
× =
Quotient de puissance
(avec
0
a
≠
)
m
m p
p
a
a
a
−
=
Puissance de puissance
(
)
p
m m p
a a
×
=
Puissance d’un produit
( )
n
n n
a b a b
× = ×
Puissance d’un quotient
(avec
0
b
≠
)
n
n
n
a a
b b
  =

Exemples
( )
0
2,42 1
− =
22
1 1
10 0,01
10 100
−= = =
Remarque Les règles de calcul du II.1 sont valables pour tous entiers relatifs
m
et
p
.
III. Puissances de 10 et écriture scientifique.
0
10 1
=
1
10 10
=
2
10 100
=
3
10 1000
=
6
10 1000000
=
9
10 1000000000
=
11
1 1
10 0,1
10 10
−
= = =
22
1 1
10 0,01
10 100
−
= = =
3
10 0,001
−
=
6
10 0,000001
−
=
Définition L’écriture scientifique d’un nombre décimal est la seule écriture de la forme
10
p
a× où
a
est
un nombre décimal ayant un seul chiffre différent de zéro avant la virgule et
p
un entier relatif.
Dans cette écriture,
10
p
est appelé l’ordre de grandeur du nombre.
Remarque Autrement dit, a doit être un nombre décimal tel que
1 10
a
< <
.
Exemples i 123,45 peut s’écrire
2
12345 10
−
× ou
3
0,12345 10
× ou …
L’écriture scientifique de 123,45 est
2
1,2345 10
×.
i L’écriture scientifique de 3170000000000 est
12
3,17 10
×.
L’ordre de grandeur de ce nombre est
12
10
i L’écriture scientifique de -0,0000000001037 est
10
1,037 10
−
− × .
L’ordre de grandeur de ce nombre est
10
10
−
Remarque L’écriture scientifique est utile pour simplifier l’écriture des très grands nombres et des nombres
très proches de zéro.
Par exemple, la masse de la Terre est de 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg ou plus simplement
24
5,9736 10
× kg.
Un atome de carbone a un rayon de 0,000000000096 m ou plus simplement
11
9,6 10
−
× m.
Remarque La calculatrice utilise aussi l’écriture scientifique pour afficher de tels nombres.
Par exemple, 0,000015÷2000000 → 7,5 E -12 (c’est-à-dire
12
7,5 10
−
×)
IV. Racine carrée
Définition La racine carrée d’un nombre
a
, notée
a
, est le nombre positif dont le carré est
a
.
(
)
2
a a
=
Exemples
9 3
=
25 5
=
49 7
=
100 10
=