exemples de résolution de récurrences linéaires

MAT210 A-2014 Une résolution de relation de récurrence avec Nspire 1
Geneviève Savard, Seg, ETS
Une résolution de relation de récurrence avec Nspire
Considérons la relation de récurrence suivante.
12
2
n n n
a a a
avec
08a
et
17a
On calcule les termes suivants ainsi, à la main ou avec Nspire :
2 1 0
3 2 1
4 3 2
2 7 2(8) 23
2 23 2(7) 37
2 37 2(23) 83
a a a
a a a
a a a
Cette relation de récurrence est linéaire, ses coefficients sont constants et elle est
homogène. Nous pouvons donc la résoudre, c’est-à-dire trouver une formule pour
n
a
qui
ne dépend que de
n
. Utilisons la technique présentée à la section 8.2 du manuel, en
remplaçant
1
et
2
par
1
k
et
2
k
pour gagner du temps lors de l’écriture sur Nspire.
1. On calcule les racines du polynôme caractéristique : 2 et -1.
2. Le polynôme possède 2 racines distinctes. La fonction f(n) est donc de la forme
1 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( ) (2) ( 1)
n n n n
f n k r k r k k    
3. On détermine les valeurs des coefficients
1
k
et
2
k
à partir des conditions initiales.
4. Avant de donner la réponse finale, il est prudent de procéder à quelques
vérifications. Par exemple, on vérifie que f(2) = 23 tel que calculé à partir de la
relation de récurrence.
5. Conclusion :
( ) 5(2) 3( 1)
nn
fn  

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Remarque technique. Nspire ne veut pas afficher la fonction f(n) en mode «Réel».
Et l’affichage de f(n) en mode «Complexe rectangulaire» n’est pas du tout ce à quoi on
s’attend. On aimerait voir
( ) 3( 1) 5(2)
nn
fn  
Mais on obtient une expression contenant un sinus, un cosinus et le fameux i complexe.
C’est en déclarant que n est un entier (avec @n1) qu’on obtient le résultat sous la forme
souhaitée.

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Un exemple plus corsé
Considérons la relation de récurrence suivante.
1 2 3 4 5
3 7 43 168 208
n n n n n n
a a a a a a
avec
03a
,
112a
,
222a
,
3340a
,
42030a
Trouvons une formule pour
n
a
.
1. On calcule les racines du polynôme caractéristique. Remarquez que le degré du
polynôme caractéristique est celui de la relation de récurrence.
2. Le polynôme possède 4 racines. Nous devons trouver la multiplicité de chacune
des racines en factorisant le polynôme. En effet, le théorème fondamental de
l’algèbre stipule qu’un polynôme de degré 5 possède 5 racines (possiblement
complexes) si l’on tient compte des multiplicités. On voit alors que -4 est une
racine de multiplicité 2, ce qui entraînera une multiplication par un polynôme de
degré 1 dans f(n).
3. La fonction f(n) est donc de la forme suivante. Remarquez qu’il y a 5 constantes
à déterminer, car la relation de récurrence est de degré 5.
1 2 3 4 5
( ) (1) ( n)( 4) (2 3 ) (2 3 )
n n n n
f n k k k k i k i       
4. On détermine les valeurs des coefficients à partir des conditions initiales.
5. On vérifie que f donne les valeurs prévues par la récurrence.

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6. Conclusion :
( ) 2 (1 2n)( 4) (2 3 ) (2 3 )
nnn
f n i i i i       
Remarque sur l’utilisation du solveur : Solve VS linSolve
Dans l’exemple précédant, l’utilisation de la commande Solve ne donne pas une réponse
exacte.
Par exemple, la valeur de k1 n’est pas exactement 1, et celel de k5 n’est pas exactement i.
Pourtant, le système d’équations à résoudre est linéaire (les inconnues (k1, k2, …, k5) ne
sont jamais affectées d’exposant, ni mutipliées entre elles). Par exemple, les 3 premières
équations sont :
Voilà pourquoi l’utilisation de la commande linSolve est appropriée.