Exercices I. Récurrence. La suite (un) est définie par : u0=2 , u1=7 et

Exercices
I. Récurrence.
La suite
(un)
est définie par :
u0=2
,
u1=7
et pour tout
n
∈ℕ :
un+2=7un+1−10 un
.
a) Calculer
u2
et
u3
.
b) On veut démontrer que pour tout entier
n⩾1
,
un=5n+2n
.
Pour cela on pose P(n) la propriété : « pour tout entier
k⩽n
,
uk=5k+2k
».
Démontrer par récurrence la formule annoncée.
II. Optimisation.
Le bateau en A se dirige vers le point H à la vitesse de 4 km/h. Une fois sur la plage, la vitesse (à
pied) est de 6km/h. Déterminer le point H pour que la durée de la course soit la plus courte.
III. Suite homographique.
On considère la suite récurrente définie par
u0=5
et pour tout entier naturel
n
:
un+1=4un−1
un+2
.
a) Déterminer la nature de la suite
(vn)
définie pour tout entier naturel
n
par :
vn=1
un−1
.
b) En déduire une formule explicite de
un
en fonction de
n
.
c) Déterminer la limite de la suite
(un)
.
IV. Probabilités.
On lance simultanément dix pièces de monnaie. Le lancer est considéré comme gagnant si le
nombre de « Pile » n'est pas compris entre 4 et 6 inclus.
1. On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de « pile » obtenus sur 10 lancers.
a) Montrer que
P(X=k)
=
(
10
k
)
1024
.
b) En déduire que
P(4⩽X⩽6)= 21
32
.
c) Quelle est la probabilité que le lancer soit gagnant ?
2. On joue six fois de suite à ce jeu.
a) Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ?
b) Combien de fois gagne-t-on en moyenne ?