Lycée Jean Bart MPSI Année 2018-2019 Devoir en temps libre 1 Exercice 1. (Equations). Soit P le polynôme de la variable complexe z déni par P (z) = z 3 − (3 + 4i) z 2 − 3 (1 − 4i) z + 9 1) Calculer P (3). 2) Montrer que P (z) peut se mettre sous la forme (z − 3) Q (z) où Q est un polynôme du second degré que l'on déterminera (à l'aide de la méthode d'identication, ou d'une autre méthode de votre choix). 3) On pose z = Z + 2i et Q (z) = Q1 (Z). Déterminer le polynôme Q1 , puis résoudre dans C l'équation Q1 (Z) = 0. 4) Déduire des questions précédentes les solutions dans C de l'équation Q(z) = 0, puis celles de P (z) = 0. Exercice 2. (Fonctions et inéquations). 1) Etablir que : ∀ x ∈ R, ex > x + 1. Interprétation graphique ? 2) Etablir que : ∀ x > −1, ln (1 + x) 6 x. Interprétation graphique ? 3) Etablir que : ∀ x > 0, ex > 1 + x + x2 . 2 Exercice 3. (Logique). Soient P et Q deux assertions logiques. On dénit l'opérateur logique NOR par P ∨ Q et on le notera par P ↓Q=P ∨Q 1. Donner la table de vérité de P ↓ Q. 2. Si A [respectivement B ] est l'ensemble des éléments qui vérient l'assertion P [respectivement l'assertion Q]. Quel est l'ensemble des éléments qui vérient P ↓ Q ? (on pourra s'aider d'un dessin). 3. Montrer que P peut s'exprimer uniquement en fonction de P et du symbole ↓. 4. En déduire (P ∧ Q) puis (P ∨ Q) uniquement en fonction de P , Q et du symbole ↓. 5. Exprimer (P ⇒ Q) uniquement en fonction de P , Q et du symbole ↓. Exercice 4. (Récurrence). Tout au long de cet exercice, x désigne un réel diérent −1. [N ] ∑ 1 xN +1 1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel N : = (−1)k xk + (−1)N +1 1+x 1+x k=0 2) Déduire de la question précédente la limite lorsque N tend vers +∞ de SN = N ∑ (−1)k k=0 k+1 .
