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DM01 Recurrence Sommes

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Lycée Jean Bart MPSI Année 2018-2019
Devoir en temps libre 1
Exercice
1. (Equations). Soit P le polynôme de la variable complexe z déni par
P (z) = z 3 − (3 + 4i) z 2 − 3 (1 − 4i) z + 9
1) Calculer P (3).
2) Montrer que P (z) peut se mettre sous la forme (z − 3) Q (z) où Q est un polynôme du second degré que l'on
déterminera (à l'aide de la méthode d'identication, ou d'une autre méthode de votre choix).
3) On pose z = Z + 2i et Q (z) = Q1 (Z).
Déterminer le polynôme Q1 , puis résoudre dans C l'équation Q1 (Z) = 0.
4) Déduire des questions précédentes les solutions dans C de l'équation Q(z) = 0, puis celles de P (z) = 0.
Exercice
2. (Fonctions et inéquations).
1) Etablir que : ∀ x ∈ R, ex > x + 1. Interprétation graphique ?
2) Etablir que : ∀ x > −1, ln (1 + x) 6 x. Interprétation graphique ?
3) Etablir que : ∀ x > 0, ex > 1 + x +
x2
.
2
Exercice 3. (Logique). Soient P et Q deux assertions logiques. On dénit l'opérateur logique NOR par P ∨ Q
et on le notera par
P ↓Q=P ∨Q
1. Donner la table de vérité de P ↓ Q.
2. Si A [respectivement B ] est l'ensemble des éléments qui vérient l'assertion P [respectivement l'assertion Q].
Quel est l'ensemble des éléments qui vérient P ↓ Q ? (on pourra s'aider d'un dessin).
3. Montrer que P peut s'exprimer uniquement en fonction de P et du symbole ↓.
4. En déduire (P ∧ Q) puis (P ∨ Q) uniquement en fonction de P , Q et du symbole ↓.
5. Exprimer (P ⇒ Q) uniquement en fonction de P , Q et du symbole ↓.
Exercice
4.
(Récurrence).
Tout au long de cet exercice, x désigne un réel diérent −1.
[N
]
∑
1
xN +1
1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel N :
=
(−1)k xk + (−1)N +1
1+x
1+x
k=0
2) Déduire de la question précédente la limite lorsque N tend vers +∞ de SN =
N
∑
(−1)k
k=0
k+1
.
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