Feuille d’exercices 16 - Arithmétique - MPSI 1 Exercice 1 1. Soient a et b deux entiers. Montrer que pour tout n ∈ N, a − b divise an − bn . 2. Montrer par récurrence que ∀n ∈ N∗ , 676|27n+1 − 26n − 27. Exercice 2 Soit p ∈ N∗ et x ∈ Z{0, 1}. On suppose que p|(x2 − x). Montrer que ∀n ∈ N, p|(xn − x). Exercice 3 n Pour n ∈ N on pose Fn = 22 + 1. On définit ainsi les nombres de Fermat. 1. Montrer que ∀(n, k) ∈ N × N∗ , Fn |Fn+k + 2. 2. Soit m et n deux entiers naturels distincts et d ∈ N∗ . Montrer que si d|Fn et d|Fm alors d = 1 et que donc Fn et Fm sont premiers entre eux. Exercice 4 (Petit théorème de Fermat) 1. Soit p un nombre premier et k ∈ [0, p − 1]. Montrer que p | p p k . p 2. Montrer que ∀a ∈ N, p |(a + 1) − a − 1. 3. Montrer que ∀n ∈ N, p |np − n. En déduire que si p est premier avec n, p |np−1 − 1. 4. Montrer par récurrence que ∀n ∈ N∗ , 11 |210n−7 + 35n−2 − 2. Exercice 5 Déterminer les couples d’entiers (a, b) tels que a ∧ b = 13 et a + b = 182. Exercice 6 Pour n ∈ N calculer n ∨ (n + 2). Exercice 7 1. Soit n = p Y pνi i ∈ N∗ . Exprimer en fonction des entiers νi le nombre de diviseurs de n. On note D(n) ce nombre. i=1 2. Montrer que Y d=n D(n) 2 . d |n Exercice 8 1. Soit n ∈ N∗ et p premier. Montrer que νp (n) = ∞ X k=1 E n . pk 2. Déterminer le nombre de zéros à la fin de 100 ! Exercice 9 1. Montrer que si p est un nombre premier entre n + 1 et 2n, p | 2n n . n 2. Montrer que 2n n ≤4 . Y 3. Montrer par récurrence que ∀n ≥ 2, p ≤ 4n+1 . On pourra montrer que si le résultat est vrai au rang n il est p premier,p≤n vrai aux rangs 2n − 1 et 2n. 1